Просмотр исходного текста страницы Алгоритм поиска блокирующего потока в ациклической сети

==Жадный Алгоритм==
Идея заключается в том, чтобы по одному находить пути из [[Определение_сети,_потока|истока]] <tex>s</tex> в [[Определение_сети,_потока|сток]] <tex>t</tex>, пока это возможно. [[Обход в глубину, цвета вершин| Обход в глубину]] найдёт все пути из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, если из <tex>s</tex> достижима <tex>t</tex>, а [[Определение_сети,_потока|пропускная способность]] каждого ребра <tex>c(u, v)>0</tex> поэтому, насыщая рёбра, мы хотя бы единожды достигнем стока <tex>t</tex>, следовательно блокирующий поток всегда найдётся.

Используя <tex>dfs</tex>, каждый путь находится за <tex>O(E)</tex>, где <tex>E</tex> — число рёбер в графе. Поскольку каждый путь насыщает как минимум одно ребро, всего будет <tex>O(E)</tex> путей. Итого общая асимптотика составляет <tex>O(E^2)</tex>.

==Удаляющий обход==
Аналогично предыдущей идее, однако будем удалять в процессе обхода в глубину из графа все рёбра, вдоль которых не получится дойти до стока <tex>t</tex>. Это очень легко реализовать: достаточно удалять ребро после того, как мы просмотрели его в обходе в глубину (кроме того случая, когда мы прошли вдоль ребра и нашли путь до стока). С точки зрения реализации, надо просто поддерживать в списке смежности каждой вершины указатель на первое неудалённое ребро, и увеличивать этот указать в цикле внутри обхода в глубину. Корректность при этом сохраняется согласно предыдущему пункту. 

 dfs() 
    <tex>p \leftarrow [s];</tex> //путь <tex>p</tex>
    <tex>v \leftarrow s</tex>; //текущая вершина и указатель на вершину первого неудалённого ребра
    if(нет пути из <tex>v</tex>)
       if (<tex>v = s</tex>)
           завершить алгоритм;
       else
           удалить <tex>(uv)</tex> из <tex>V(G)</tex>; //<tex>uv</tex> - последнее ребро на пути <tex>p</tex>
           удалить <tex>v</tex> из <tex>p</tex>;
    do
       //<tex>w</tex> - вершина смежная с <tex>v</tex>
       <tex>p \leftarrow p+[w]</tex>;
       <tex>v \leftarrow w;</tex>
    while(<tex>w \ne t</tex>);
    
    <tex>\delta \leftarrow </tex>min(<tex>c(vw) - f(vw), (vw)\in p</tex>);
    foreach <tex>(vw)\in p </tex>
       <tex>f(vw)\leftarrow f(vw) + \delta;</tex> //увеличиваем поток вдоль пути <tex>p</tex>
       <tex>if</tex> (ребро <tex>(vw)</tex> насыщено)
          удалить <tex>(vw)</tex> из <tex>V(G);</tex>
    dfs();

Если обход в глубину достигает стока, насыщается как минимум одно ребро, иначе как минимум один указатель продвигается вперед. Значит один запуск обхода в глубину работает за <tex>O(V + K)</tex>, где <tex>V</tex> — число вершин в графе, а <tex>K</tex> — число продвижения указателей. Ввиду того, что всего запусков обхода в глубину в рамках поиска одного [[Блокирующий поток|блокирующего потока]] будет <tex>O(P)</tex>, где <tex>P</tex> — число рёбер, насыщенных этим блокирующим потоком, то весь алгоритм поиска блокирующего потока отработает за <tex>O(PV + \sum\limits_i{K_i})</tex>, что, учитывая, что все указатели в сумме прошли расстояние <tex>O(E)</tex>, дает асимптотику <tex>O(PV + E)</tex>. В худшем случае, когда блокирующий поток насыщает все ребра, асимптотика получается <tex>O(VE)</tex>.

<b>Замечание</b> Если в [[Схема алгоритма Диница|алгоритме Диница]] искать блокирующий поток удаляющим обходом, то его эффективность составит <tex>O(V^2E)</tex>, что уже лучше эффективности [[Алоритм Эдмондса-Карпа|алгоритма Эдмондса-Карпа]] <tex>O(VE^2)</tex>.

==Алгоритм Малхотры — Кумара — Махешвари==
===Идея===
Для каждой вершины  вводится потенциал потока, равный максимальному дополнительному потоку, который может пройти через эту вершину. Далее запускаем цикл, на каждой итерации которого определяем вершину <tex>v</tex> с минимальным потенциалом <tex>p</tex>. Затем пускается поток величины <tex>p</tex> из истока в сток, проходящий через эту вершину. При этом если [[Дополняющая сеть, дополняющий путь|остаточная пропускная способность]] ребра равна нулю, то это ребро удаляется. Также, удаляются все вершины, у которых не остаётся ни одного входящего и/или ни одного выходящего ребра. При удалении вершины все смежные ребра удаляются.

===Подробное описание===
* Для каждой вершины <tex>v</tex> вычислим входящий и исходящий потенциал: <tex>p_{in}=\sum \limits_{u} c(u, v)</tex> и <tex>p_{out}=\sum \limits_{u} c(u, v)</tex>. Пусть <tex>p_{in}(s)=\infty</tex> и <tex>p_{out}(t)=\infty</tex>. Определим потенциал или пропускную способность вершины в [[Определение сети, потока|сети]] <tex>p(v)=min(p_{in}(v), p_{out}(v))</tex>. Таким образом, потенциал вершины определяет максимально возможное количество потока, который может через нее проходить. Ясно, что через вершины с <tex>p(v)=0</tex> поток проходить не может. Следовательно, их можно удалить из [[Дополняющая сеть, дополняющий путь|вспомогательной сети]]. Удалим эти вершины и дуги, им инцидентные, обновив должным образом потенциалы вершин, смежных с удаленными. Если в результате появятся новые вершины с <tex>p(v)=0</tex>, удалим рекурсивно и их. В результате во вспомогательной сети останутся только вершины с <tex>p(v)\ne0</tex>.

* После этого приступим к построению [[Блокирующий поток|блокирующего потока]]. Пусть вершина <tex>v</tex> принадлежит <tex>k</tex>-ому слою и <tex>p(v)=min (p(w), w \in L_k)</tex>, где <tex>L_k</tex>  —  <tex>k</tex>-й слой. Протолкнем <tex>p(v)</tex> единиц потока из вершины <tex>v</tex> в смежные с ней вершины по исходящим дугам с [[Дополняющая сеть, дополняющий путь | остаточной пропускной способностью]] <tex>c_f \ne 0</tex>. Попутно будем переносить проталкиваемый поток в исходную сеть, а также корректировать потенциалы вершин, отправляющих и принимающих избыток потока. В результате, весь (в виду минимальности потенциала вершины <tex>v</tex>) проталкиваемый поток соберется в вершинах <tex>(k+1)</tex>-го слоя. 

* Повторим процесс отправки потока из вершин <tex>(k+1)</tex>-го слоя, содержащих избыток потока, в смежные им вершины <tex>(k+2)</tex>-го слоя. И так до тех пор, пока весь поток не соберется в последнем слое, в котором содержится только сток <tex>t</tex>, ибо все остальные вершины, ранее ему принадлежащие, были удалены, поскольку их потенциалы нулевые. Следовательно, весь поток величины <tex>p(v)</tex>, отправленный из вершины <tex>v</tex>, где <tex>p(v)</tex> - минимальный полностью соберется в <tex>t</tex>. 

* На втором этапе вновь, начиная с вершины <tex>v</tex>, осуществляется подвод потока уже по входящим дугам. В результате на первом шаге недостаток потока переадресуется к узлам <tex>(k-1)</tex>-го слоя, затем <tex>(k-2)</tex>-го. И так до тех пор, пока весь потока величины <tex>p(v)</tex>, отправленные из вершины <tex>v</tex>, где <tex>p(v)</tex> - минимальный, не соберется в истоке <tex>s</tex>. Таким образом, поток и во вспомогательной и в основной сети увеличится на величину <tex>p</tex>. 


 MPM algorithm(<tex>s, t</tex>)
 {
    foreach <tex>(uv) \in E</tex>
      <tex>f(uv) \leftarrow 0 </tex>;
    Вычисляем остаточную сеть <tex>R</tex>;
    Найдём вспомогательный граф <tex>L</tex> для <tex>R</tex>;
    while (<tex>t \in L</tex>)
    {
      while (<tex>t</tex> достижима из <tex>s</tex> в <tex>L</tex>)
      {
        найдём <tex>v</tex> с миниальной пропускной способностью <tex>g</tex>;
        проталкиваем <tex>g</tex> единиц потока из <tex>v</tex> в <tex>t</tex>;
        проталкиваем <tex>g</tex> единиц потока из <tex>s</tex> в <tex>v</tex>;
        изменяем <tex>f</tex>, <tex>L</tex> и <tex>R</tex>;
      }
      вычисляем новый вспомогательный граф <tex>L</tex> из <tex>R</tex>;
    }
 }

===Асимптотика===
Если информация о входящих и исходящих дугах будет храниться в виде связных списков, то для того, чтобы пропустить поток, на каждой итерации будет выполнено <tex>O(K + E_i)</tex> действий, где <tex>K</tex> соответствует числу рёбер, для которых остаточная пропускная способность уменьшилась, но осталась положительной, а <tex>E_i</tex> — числу удалённых ребер. Таким образом, для поиска блокирующего потока будет выполнено <tex>\sum\limits_i{O(K+E_i)} = O(K^2)</tex> действий.

==Источники==
*[http://e-maxx.ru/algo/dinic#8 e-maxx Алгоритм Диница]
*[http://www.facweb.iitkgp.ernet.in/~arijit/courses/autumn2006/cs60001/lec-flow-4.pdf The MPM Algorithm]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9C%D0%B0%D0%BB%D1%85%D0%BE%D1%82%D1%80%D1%8B_%E2%80%94_%D0%9A%D1%83%D0%BC%D0%B0%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D0%B0%D1%85%D0%B5%D1%88%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8 Алгоритм Малхотры — Кумара — Махешвари]
*[http://eprints.utas.edu.au/160/1/iplFlow.pdf Оригинальная публикация алгоритма Малхотры — Кумара — Махешвари.]


[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Задача о максимальном потоке]]