Просмотр исходного текста страницы Теорема Татта о существовании полного паросочетания

{{Определение
|definition ='''Нечетная компонента связности''' графа <tex>G</tex> {{---}} компонента связности, содержащая нечетное число вершин.
}}

{{Определение
|definition =Обозначим за <tex>o(G)</tex> число нечетных компонент связности в графе <tex>G</tex>. 
}}

==Критерий Татта==
Рассмотрим <tex>G'</tex> {{---}} надграф <tex>G</tex>, в <tex>G'</tex> нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого ребра, при этом <tex>\left\vert V(G) \right\vert = \left\vert V(G') \right\vert = n</tex> 

Пусть <tex> U = \{ v \in V: deg_{G'} (v) = n - 1 \}</tex>. 
{{Лемма
|statement= <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
|proof=
}} 

== Теорема Татта ==

{{Теорема
|statement=В графе <tex>G</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset V(G)</tex> выполнено условие: <tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex> 
|proof =
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>G</tex> и множество вершин <tex>S \subset V(G)</tex>.

Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> G \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
<tex>\Leftarrow</tex> 
}}