Просмотр исходного текста страницы Теорема Татта о существовании полного паросочетания

{{Определение
|definition ='''Нечетная компонента связности''' графа <tex>\mathbb{G}</tex> {{---}} компонента связности, содержащая нечетное число вершин.
}}

{{Определение
|definition =<tex>o(\mathbb{G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>\mathbb{G}</tex>. 
}}

{{Определение
|definition ='''Множество Татта''' графа <tex>\mathbb{G}</tex> {{---}} множество <tex>S \subset \mathbb{V_{G}}</tex>, для которого выполнено условие: <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) > \left\vert S \right\vert</tex>
}}

==Критерий Татта==
Будем дополнять граф <tex>\mathbb{G}</tex> ребрами, пока не получим граф <tex>\mathbb{G'}</tex>, в котором нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого ребра.  

Пусть <tex> U = \{ v \in V: deg_{G'} (v) = n - 1 \}</tex>. 

Очевидно, что <tex>\left\vert U \right\vert \ne n</tex>, потому что <tex>G'</tex> {{---}} не полный граф. 
{{Лемма
|statement= <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
|proof=Пусть это не так, тогда существуют вершины <tex>x,y,z \in \mathbb{V_\mathbb{G'}} \setminus U</tex>, такие что <tex>xy, yz \in \mathbb{E_\mathbb{G'}}</tex>, но <tex>xz \notin \mathbb{E_\mathbb{G'}}</tex>. Так как <tex>y \notin U</tex>, то <tex>\exists t \notin U: yt \notin \mathbb{E_\mathbb{G'}}</tex>.

В графе <tex>\mathbb{G'}+xz</tex> существует полное паросочетание <tex>M_1</tex>, так как граф <tex>\mathbb{G'}</tex> максимальный по построению. Аналогично, в графе <tex>\mathbb{G'}+yt</tex> существует полное паросочетание <tex>M_2</tex>. Так как в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания, то <tex>xz \in M_1</tex> и <tex>yt \in M_2</tex>. 

Возможны два случая:

1) Вершины <tex>x,z</tex> и <tex>y,t</tex> лежат в разных полных подграфах графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex>, например, в <tex>H_1</tex> и <tex>H_2</tex>, соответственно. 

Покроем вершины подграфа <tex>H_1</tex> паросочетанием <tex>M_2</tex>, при этом заметим, что ребро <tex>xz</tex> не входит в это паросочетание. Аналогично покроем паросочетанием <tex>M_1</tex> вершины подрафа <tex>H_2</tex> и ребро <tex>yt</tex> не войдет в это паросочетание. Если остались еще какие-то вершины, не входящие в паросочетание, то выберем для них любые ребра из паросочетаний <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. Таким образом, мы получим полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>, что противоречит тому, как мы изначально построили этот граф.

2) Вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат в одном подграфе графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex>.

Построим граф <tex>H</tex>, такой что <tex>\mathbb{V_\mathbb{H}}=\mathbb{V_\mathbb{G'}}</tex> и <tex>\mathbb{E_\mathbb{H}}=M_1 \oplus M_2</tex>. Получим, что вершины <tex>x,y,z</tex> и <tex>t</tex> лежат на каком-то чередующемся цикле. В силу симметричности <tex>x</tex> и <tex>z</tex> можно считать, что вершины расположены в порядке <tex>tzxy</tex>. Тогда существует путь <tex>P_1=t..zx..y</tex> и полное паросочетание в нем, но так же существует и путь <tex>P_2=t..zy..x</tex>, содержащий только ребра графа <tex>\mathbb{G'}</tex>. Значит, существует полное паросочетание на вершинах, выбранного подграфа. В остальных подграфах выберем ребра любого из паросочетаний <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. Таким образом, получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>, противоречие.  

В каждом из возможных случаев получили предположение, значит наше начальное предположение тоже неверно и <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов, лемма доказана.
}} 

== Теорема Татта ==

{{Теорема
|statement=В графе <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> выполнено условие: <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex> 
|proof =
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G}</tex> и множество вершин <tex>S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex>.

Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> \mathbb{G} \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть для графа <tex>\mathbb{G}</tex> выполнено, что <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует.

Рассмотрим граф <tex>\mathbb{G'}</tex> и множество вершин <tex>U</tex> (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset \mathbb{V_\mathbb{G}}</tex> выполнено, что <tex>o(\mathbb{G'} \setminus S) \leqslant o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.

Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>o(G' \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Если все вершины множества <tex>U</tex> оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>. Противоречие, так как по построению в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания.

Значит, в <tex>U</tex> осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в <tex>\mathbb{G'}</tex> четно, так как <tex>o(\mathbb{G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0</tex> и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые в <tex>\mathbb{G'}</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием.

Таким образом, получили в <tex>\mathbb{G'}</tex> полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально. 

Значит, начальное предположение не верно, и в <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание.
   
}}