Просмотр исходного текста страницы PSRS-сортировка

== Описание ==
Parallel Sorting by Regular Sampling {{---}} параллельная сортировка, разработанная Ханмао Ши, Рисажем Канселом и Джонатаном Шеффером в 1992 году. Имеет два преимущества по сравнению с [[Быстрая сортировка|быстрой сортировкой]]: 
* сохраняет размер списка более сбалансированным на протяжении всего процесса
* избегает повторных перестановок ключей

== Алгоритм ==
* Начало.
* '''Шаг 1.''' Исходный массив в <tex>n</tex> элементов разделим поровну между <tex>p</tex> процессорами.
* '''Шаг 2''' На каждом процессоре запускам [[Быстрая сортировка|быструю сортировку]].
* '''Шаг 3''' Формируем вспомогательный массив из элементов каждого процессора под индексами <tex dpi=145>0,\frac {n}  {p^2}, \frac {2n}{p^2},...,\frac {(p-1)n}{p^2}</tex>.
* '''Шаг 4''' Сортируем вспомогательный массив с помощью быстрой сортировки.
* '''Шаг 5''' Формируем массив разделителей из элементов вспомогательного массива под индексами <tex dpi=145>   p + [\frac {p} {2}] - 1, 2p + [\frac {p}{2}] - 1,...,(p-1)p + [\frac {p}{2}] - 1</tex>.
* '''Шаг 6''' Делим данные в процессорах с помощью массива разделителей следующим образом. Пусть <tex>a_1, a_2,..., a_j</tex> {{---}} разделители. Тогда данные в каждом процессоре разобьём на группы элементов,                              попадающие в соответствующие полуинтервалы <tex>(-\infty,a_1],(a_1,a_2],...,(a_j,+\infty)</tex>.
* '''Шаг 7''' Сливаем соответствующие группы элементов в массивы. Слияние будем производить поочерёдно, то есть сначала сольём первую группу со второй потом результат с третей и так далее. В итоге получим отсортированный набор данных.
* '''Шаг 8''' Данные из процессоров поочерёдно записываем в исходный массив. Данные отсортированы.
* Конец.

== Пример ==
Количество элементов <tex>27</tex>, количество процессоров <tex>3</tex>.
Исходный набор данных:

<tex>[15, 46, 48, 93, 39, 6, 72, 91, 14, 36, 69, 40, 89, 61, 97, 12, 21, 54, 53, 97, 84, 58, 32, 27, 33, 72, 20]</tex>:
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| Описание этапа
!style="background-color:#EEE"| 1 процессор
!style="background-color:#EEE"| 2 процессор
!style="background-color:#EEE"| 3 процессор
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Разделение между процессорами
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 15 46 48 93 39 6 72 91 14 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 36 69 40 89 61 97 12 21 54 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 53 97 84 58 32 27 33 72 20
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После сортировки частей
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 6 14 15 39 46 48 72 91 93 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 12 21 36 40 54 61 69 89 97 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 20 27 32 33 53 58 72 84 97
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Выбор элементов
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''6''' 14 15 '''39''' 46 48 '''72''' 91 93  
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''12''' 21 36 '''40''' 54 61 '''69''' 89 97
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''20''' 27 32 '''33''' 53 58 '''72''' 84 97
|}


{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| Описание этапа
!style="background-color:#EEE"| Данные
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Выбранные элементы
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 6 39 72 12 40 69 20 33 72
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После сортировки
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 6 12 20 33 39 40 69 72 72
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Выбор элементов
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 6 12 20 '''33''' 39 40 '''69''' 72 72
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Разделители
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 33 69
|}


{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| Описание этапа
!style="background-color:#EEE"|            
!style="background-color:#EEE"| 1 процессор
!style="background-color:#EEE"|            
!style="background-color:#EEE"|            
!style="background-color:#EEE"| 2 процессор
!style="background-color:#EEE"|            
!style="background-color:#EEE"|            
!style="background-color:#EEE"| 3 процессор
!style="background-color:#EEE"|            
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После сортировки частей
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 6 14 15 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 39 46 48 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 72 91 93
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 12 21 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 36 40 54 61 69
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 89 97
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 20 27 32 33 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 53 58
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 72 84 97
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После обмена данными
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 6 14 15 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 12 21 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 20 27 32 33
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 39 46 48 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 36 40 54 61 69
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 53 58
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 72 91 93 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 89 97 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 72 84 97
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После слияния
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 6 12 14  
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 15 20 21
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 27 32 33
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 36 39 40  
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 46 48 53
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 54 58 61 69
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 72 72  
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 84 89 91
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 93 97 97
|}

== Анализ ==
При <tex>n</tex> элементах и <tex>p</tex> процессорах начальная сортировка выполнится за <tex dpi=145>O( \frac {n\log(n/p)}{p})</tex>. Выбор порядка <tex>p</tex> элементов в каждом процессоре произойдёт за <tex>O(p)</tex>, их сортировать мы будем с помощью [[Быстрая сортировка|быстрой сортировки]], а так же учитывая, что их количество порядка <tex>p</tex>, то можно сказать, что они сортируются за <tex>O(p^2\log(p^2))=O(p^2\log(p))</tex>. 

После обмена данными будет произведено слияние <tex>p</tex> массивов в каждом процессоре. Также мы должны помнить, что при равномерном распределении данных длина сливаемых массивов будет <tex dpi=145>\frac {n}{p^2}</tex>, а <tex>\mathrm {merge} </tex> двух массивов выполняется за сумму их длин. Поэтому <tex>\mathrm {merge} </tex> займёт <tex dpi=145> O(\sum \limits_{k=2}^{p} \frac {k \cdot n}{p^2})=O(\frac {n \cdot p \cdot (p+1)}{2p^2}-\frac {n}{p^2})=O(n)</tex>.  
  
Откуда получаем итоговую асимптотику:      
                                             
<tex dpi=145> O(\frac {n\log(n/p)}{p})+O(p^2\log(p))+O(n)+O(p)</tex> 

Что равно: 

<tex dpi=145>O(\frac {n\log(n/p)}{p}+p^2\log(p)+n+p)=O(\frac {n\log(n/p)}{p})</tex>.

== См. также ==
* [[Многопоточная сортировка слиянием|Многопоточная сортировка слиянием]]
* [[Быстрая сортировка|Быстрая сортировка]]
== Источники информации ==
* [https://wiki.engr.illinois.edu/download/attachments/99155993/Sort+ParaProg(Quinn)chpt14.5.pdf?version=1&modificationDate=1203641170000| Статья о PSRS]
* [http://users.cms.caltech.edu/~cs284/lectures/29oct97/sld003.htm| Презентация]
 
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Сортировка]]