Просмотр исходного текста страницы Двудольные графы и раскраска в 2 цвета

== Двудольный граф ==
{{main|Двудольные графы}}

== Раскраска в 2 цвета ==

{{Теорема 
|statement=
[[Основные определения теории графов|Граф]] 2-[[Раскраска графа|раскрашиваемый]] тогда и только тогда, когда он [[Двудольные графы|двудольный]].
|proof=
Если множество вершин двудольного графа можно разделить на два независимых подмножества так, что ни одна из вершин ни в одном из этих подмножеств не является смежной к вершине из этого же подмножества, тогда граф <tex>G = (W, E)</tex>  —  2-раскрашиваем. <tex>\chi(G) = 2</tex>.

Если же граф 2-раскрашиваемый, то множество его вершин можно разделить на два непересекающихся множества так, чтобы в каждом из них не нашлось двух смежных вершин. Тогда граф будет двудольным.
}}

==Теорема Кёнига==
{{Теорема 
|about=
Кёниг
|statement=
Граф <tex> G </tex> является двудольным тогда и только тогда, когда все [[Основные определения теории графов #def_graph_cycle_1|циклы]] в графе <tex> G </tex> имеют чётную длину.
|proof=

''Достаточность.'' 

Рассмотрим двудольный граф. Начнем цикл в доле <tex> U </tex>. Нужно пройти по четному числу ребер, чтобы вернуться в <tex> U </tex> снова. Следовательно, при замыкании цикла число ребер будет четным.

''Необходимость.''

Пусть ненулевой граф <tex> G </tex> [[k-связность|связен]] и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину <tex> u </tex> и разобьем множество всех вершин на два непересекающихся множества <tex> U </tex> и <tex> V </tex> так, чтобы в <tex> U </tex> лежали вершины <tex> v_0 </tex>, такие что [[Кратчайший путь в ациклическом графе|кратчайшая цепь]] <tex>(u, v_0)</tex> была чётной длины, а в <tex> V </tex> соответственно вершины <tex>v_1</tex>, для которых длина цепи <tex>(u, v_1)</tex> — нечётная. При этом <tex> u \in U </tex>. 

В графе <tex> G </tex> нет ребер <tex>ab</tex>, таких что <tex>a, b </tex> лежат одновременно в <tex> U </tex>  и <tex>V</tex>. Докажем это от противного. Пусть <tex>a, b \in U </tex>. Зададим <tex> P_0 </tex> — кратчайшая <tex> (u, a) </tex> цепь, а <tex> P_1 </tex> — кратчайшая <tex> (u, b) </tex> цепь. Обе цепи четной длины. Пусть <tex> v_0 </tex> — последняя вершина цепи <tex> P_0 </tex>, принадлежащая <tex> P_1 </tex>. Тогда подцепи от <tex> u </tex> до <tex> v_0  </tex> в <tex> P_0</tex> и <tex>P_1</tex> имеют одинаковую длину (иначе бы, пройдя по более короткой подцепи от <tex>u</tex> до <tex>v_0</tex> мы смогли бы найти более короткую цепь от <tex> u </tex> до <tex> a </tex> или от <tex> u </tex> до <tex> b </tex>, чем цепь <tex> P_0 </tex> или <tex> P_1 </tex>  ). Так как подцепи от <tex> v_0 </tex> до <tex> a </tex> и от <tex> v_0 </tex> до <tex> b </tex> в цепях <tex> P_0 </tex> и <tex> P_1 </tex> имеют одинаковую четность, а значит в сумме с ребром <tex> ab </tex> они образуют цикл нечётной длины, что невозможно.
}}

== Следствие ==

===Алгоритм проверки графа на двудольность, используя обход в глубину===

Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину (англ. ''Depth-first search'').
На каждом шаге обхода в глубину помечаем вершину. Допустим, мы пошли в первую вершину — помечаем её как <tex> 1 </tex>. Затем просматриваем все смежные вершины, и если не помечена вершина, то на ней ставим пометку <tex> 2 </tex> и рекурсивно переходим в нее. Если же она помечена и на ней стоит та же пометка, что и у той, из которой шли (в нашем случае <tex> 1 </tex>), значит граф не двудольный.

===Алгоритм проверки графа на двудольность, используя обход в ширину===

Произведём серию поисков в ширину (англ. ''Breadth-first search''). Т.е. будем запускать поиск в ширину из каждой непосещённой вершины. Ту вершину, из которой мы начинаем идти, мы помещаем в первую долю. В процессе поиска в ширину, если мы идём в какую-то новую вершину, то мы помещаем её в долю, отличную от доли текущей вершину. Если же мы пытаемся пройти по ребру в вершину, которая уже посещена, то мы проверяем, чтобы эта вершина и текущая вершина находились в разных долях. В противном случае граф двудольным не является.
По окончании работы алгоритма мы либо обнаружим, что граф не двудолен, либо найдём разбиение вершин графа на две доли.

==См. также ==
* [[Укладка графа на плоскости|Укладка графа на плоскости.]]
* [[Раскраска графа|Раскраска графа]]

== Источники информации ==
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.
* ''Харари Ф.'' Теория графов. /пер. с англ. — изд. 2-е — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
* [http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nig's_theorem_(graph_theory) Теорема Кёнига]
* [http://e-maxx.ru/algo/bipartite_checking MAXimal :: algo :: Проверка графа на двудольность]
* [http://www.e-maxx.ru/algo/dfs Обход в глубину. Реализации.]
* [http://e-maxx.ru/algo/bfs Обход в ширину. Реализации.]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Раскраски графов]]