Просмотр исходного текста страницы Задача о минимуме/максимуме скалярного произведения

{{ 
Задача 
|definition=нахождение минимальной/максимальной суммы попарных произведений для двух заданных упорядоченных наборов чисел. 
}} 
== Решение == 
Скалярным произведением двух упорядоченных последовательностей чисел будем называть число <tex>S = x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_m y_m</tex> 
{{ 
Теорема 
|about=о минимуме/максимуме скалярного произведениях<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/Перестановочное_неравенс.. Транс-неравенство или перестановочное неравенство]</ref> 
|statement=Минимум скалярного произведения достигается при сопоставлении возрастащей последовательности <tex>x_1..x_m</tex> и убывающей последовательности <tex>y_1..y_m</tex>. При сопоставлении возрастающей <tex>y_1..y_m</tex> достигается максимум. 

|proof= 
Будем считать, что <tex>x_i</tex> отсортирована по возрастанию. Покажем, что если существуют пары чисел <tex>(x_i, y_i)</tex> и <tex>(x_j, y_j)</tex>, такие что <tex>x_i < x_j</tex> и <tex>y_i < y_j</tex>, то скалярное произведение можно уменьшить, поменяв местами <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>. Так как <tex>(x_j - x_i)(y_j - y_i) > 0</tex>, то <tex>x_i y_i + x_j y_j > x_j y_i + x_i y_j</tex>. Проделав такую замену для всех <tex>y_i < y_j</tex> получим отсортированную по убыванию последовательность <tex>y_i</tex>. Аналогично для получения максимума во всех парах чисел <tex>(x_i, y_i)</tex> и <tex>(x_j, y_j)</tex>, таких что <tex>x_i < x_j</tex> и <tex>y_i > y_j</tex> нужно менять местами <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>. В результате получится отсортированная по возрастанию последовательность. 
}}

Данная теорема нашла себе практическое применение в теории [[Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)|матроидов]] и [[Flow shop| расписаний]].

== Примечание == 
<references/> 

== Литература == 
* Романовский И. В. Дискретный анализ. — 3-е изд. — С. 320 — ISBN 5-7940-0114-3. 

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] 

[[Категория: Комбинаторика ]]