Просмотр исходного текста страницы Теорема о соотношении coNP и IP

{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
|+
|-align="center"
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
|-style="font-size: 16px;"
|
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

''Антивоенный комитет России''
|-style="font-size: 16px;"
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
|-style="font-size: 16px;"
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
|}

== Подготовка к доказательству ==

{{Определение
|definition=
<tex>\mathrm{\#SAT}=\{\langle \varphi, k \rangle \mid \varphi</tex> {{---}} [[Определение_булевой_функции | булева формула]], которая имеет ровно <tex>k</tex> удовлетворяющих наборов <tex>\}</tex>.
}}


{{Лемма
|about=1
|statement=Пусть <tex> \varphi </tex> булева формула, а <tex> A_\varphi </tex> {{---}} её [[Арифметизация булевых формул с кванторами|арифметизация]]. Тогда <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1  A_\varphi(x_1, \ldots, x_m)=k \Leftrightarrow \langle \varphi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.
|proof=Следует из [[Арифметизация булевых формул с кванторами | леммы (1)]].
}}


{{Лемма
|about=2
|statement=<tex>\mathrm{\#SAT} \in \mathrm{IP}</tex>.
|proof=

Сперва арифметизуем формулу <tex>\varphi</tex>. Пусть полученный полином <tex>A_\varphi(x_1, x_2, \ldots, x_m)</tex> имеет степень <tex>d</tex>.

Для доказательства леммы построим программы <tex>V</tex> (<tex> \mathrm{Verifier}</tex>) и <tex>P</tex> (<tex>\mathrm{Prover}</tex>) из [[Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM#Класс IP|определения]] класса <tex>\mathrm{IP}</tex>.

По лемме (1) вместо условия <tex>\langle \varphi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>, можно проверять условие <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1  A_\varphi(x_1, \ldots, x_m)=k</tex>. Тогда пусть на вход протоколу поступает пара <tex> \langle A_{\varphi}, k \rangle </tex>. 

Приступим к описанию [[Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM|интерактивного протокола]].

; '''Шаг 0'''
:Если <tex>d=0</tex> или <tex>m=0</tex>, то <tex>V</tex> может проверить указанное выше условие сам и вернуть соответствующий результат. Иначе запросим у <tex>P</tex> такое простое число <tex>p</tex>, что <tex>3dm \leqslant p \leqslant 6dm</tex> (такое <tex>p</tex> существует в силу постулата Бертрана<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/Постулат_Бертрана Wikipedia {{---}} Постулат Бертрана]</ref>. Проверим <tex>p</tex> на простоту и на принадлежность заданному промежутку. Как мы [[Класс P#Примеры задач и языков из P|знаем]], <tex>\mathrm{Primes} \in \mathrm{P}</tex>, следовательно на эти операции у <tex>V</tex> уйдёт полиномиальное от размера входа время.

:Далее будем проводить все вычисления по модулю <tex>p</tex>, то есть над конечным [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей | полем ]] <tex> \mathbb{F}_{p} </tex>, что не позволяет числам становиться слишком большими и упрощает анализ.

:Попросим <tex>P</tex> прислать <tex>V</tex> формулу <tex>A_0(x_1)= \sum\limits_{x_2 = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A_\varphi(x_1, x_2, \ldots, x_m)</tex>. Заметим, что размер формулы <tex>A_0(x_1)</tex> будет полином от длины входа <tex>V</tex>, так как <tex>A_0(x_1)</tex> — полином степени не выше, чем <tex>d</tex>, от одной переменной, а значит его можно представить в виде <tex>A_0(x) = \sum\limits_{i = 0}^{d} C_i \cdot x ^ i</tex>.

:Проверим следующее утверждение: <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex> (*) (здесь и далее под словом «проверим» будем подразумевать следующее: если утверждение верно, <tex>V</tex> продолжает свою работу, иначе он прекращает свою работу и возвращет '''false''').

; '''Шаг i'''
:Пусть <tex>r_i = \mathrm{random} \lbrace0, \ldots, p-1 \rbrace</tex>. Отправим <tex>r_i</tex> программе <tex>P</tex>.

:Попросим <tex>P</tex> прислать <tex>V</tex> формулу <tex>A_i(x_{i+1}) = \sum\limits_{x_{i+2} = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A_\varphi(r_1,\ldots, r_i, x_{i+1}, \ldots, x_m)</tex>.

:Проверим следующее утверждение: <tex>A_i(0) + A_i(1) = A_{i-1}(r_i)</tex> (*).
; '''Шаг m'''
:Пусть <tex>r_m = \mathrm{random} \lbrace0, \ldots, p-1 \rbrace</tex>. Отправим <tex>r_m</tex> программе <tex>P</tex>.

:Попросим программу <tex>P</tex> прислать <tex>V</tex> значение <tex>A_m()= A_\varphi(r_1, r_2, \ldots, r_m)</tex>.

:Проверим следующее утверждение: <tex>A_m() = A_{m-1}(r_m)</tex> (*). А также сами подставим <tex>r_1, r_2, \ldots, r_m</tex> в <tex>A_\varphi(x_1, x_2, \ldots, x_m)</tex> и проверим правильность присланного значения <tex>A_m()</tex>.

:Возвращаем '''true'''.
Докажем теперь, что построенный таким образом интерактивны протокол {{---}} корректный. Для этого нужно доказать следующие утверждения:
# Построенный <tex>V</tex> {{---}} [[Вероятностные_вычисления._Вероятностная_машина_Тьюринга|вероятностная машина Тьюринга]], совершающая не более полинома от длины входа действий.
# <tex>\langle \varphi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT} \Rightarrow \exists P : \mathbb{P}(V_{P}(\langle \varphi, k \rangle)=1) \geqslant 2/{3}</tex> ([[Интерактивные_протоколы._Класс_IP._Класс_AM|Completeness]]).
# <tex>\langle \varphi, k \rangle \notin \mathrm{\#SAT} \Rightarrow \forall P :\mathbb{P}(V_{P}(\langle \varphi, k \rangle)=1) \leqslant 1/{3}</tex> ([[Интерактивные_протоколы._Класс_IP._Класс_AM|Soundness]]).

Докажем эти утверждения.

#Первый факт следует из построения <tex>V</tex>.
#По [[Арифметизация булевых формул с кванторами | лемме (2)]], если <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1  A_\varphi(x_1, \ldots, x_m)=k</tex>, то условия (*) выполняются, а значит, по построению протокола, существует такой <tex>P</tex>, что <tex>\mathbb{P}(V_{P}(\langle\varphi,k\rangle) = 1) = 1</tex>, для любой пары <tex>\langle\varphi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.
#Пусть количество наборов, удовлетворяющих <tex>\varphi</tex>, не равно <tex>k</tex>. Для того, чтобы <tex>V</tex> вернул '''true''', <tex>P</tex> должен посылать такие <tex>A_i</tex>, чтобы выполнялись все проверяемые условия. Посмотрим на то, что он может послать:
::;'''Шаг 0'''
:::Так как количество наборов, удовлетворяющих <tex>\varphi</tex>, не равно <tex>k</tex>, то <tex>P</tex> не может послать правильное <tex>A_0</tex>, поскольку в этом случае не выполнится условие <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex>. Поэтому он посылает не <tex>A_0</tex>, а некое <tex>\tilde{A}_0</tex>.
::;'''Шаг i'''
:::Заметим, что если на каком-то шаге <tex>A_{i-1}(r_i) = \tilde{A}_{i-1}(r_i)</tex>, то начиная со следующего шага <tex>P</tex> может посылать правильные <tex>A_j</tex> и в итоге <tex>V</tex> вернёт '''true'''.
:::Для некоторого случайно выбранного <tex>r_i</tex> вероятность того, что <tex>A_{i-1}(r_i) = \tilde{A}_{i-1}(r_i)</tex>, не превосходит <tex>\dfrac{d}{p}</tex>, так как <tex>r_i</tex> — корень полинома <tex>(A_{i-1} - \tilde{A}_{i-1})(r_i)</tex>, имеющего степень не больше <tex>d</tex>, а, по основной теореме алгебры<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B Wikipedia {{---}} Основная теорема алгебры]</ref>, полином имеет ровно <tex> d </tex> корней, и <tex> r_i \in \lbrace 0, \ldots, p -1 \rbrace</tex>.
::;'''Шаг m'''
:::Так как на последнем шаге <tex>V</tex> сверяет полученное от <tex>P</tex> значение с непосредственно вычисленным, слово будет допущено только в том случае, когда <tex>P</tex> смог прислать верное значение, что в свою очередь возможно лишь если на одном из предыдущих шагов был верно угадан корень полинома.

:::Вычислим вероятность того, что хотя бы раз корень был угадан.
:::<tex>\mathbb{P}(V_{P}(\langle \varphi, k \rangle)=1) = 1 - \left( 1 - \dfrac{d}{p} \right)^m \leqslant 1 - \left(1 - \dfrac{d}{3dm}\right)^m = 1 - \left(1 - \dfrac{1}{3m}\right)^m  </tex>.
:::Заметим, что функция <tex> y(m) = 1 - \left( 1 - \dfrac{1}{3m} \right)^{m}</tex> убывает при <tex> m \geqslant \dfrac{1}{3} </tex>. А так как <tex> m \geqslant 1 </tex> и <tex> y(1) = \dfrac{1}{3} </tex>, в итоге получаем, что <tex>\mathbb{P}(V_{P}(\langle \varphi, k \rangle)=1) \leqslant \dfrac{1}{3} </tex>.

Таким образом, построенный нами интерактивный протокол корректен, а значит лемма доказана.
}}

== Теорема ==

{{Теорема
|statement=<tex>\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}</tex>.
|proof=
[[Сведение_относительно_класса_функций._Сведение_по_Карпу._Трудные_и_полные_задачи|Сведём]] [[Теорема_Бермана_—_Форчуна | язык <tex>\mathrm{TAUT}</tex>]] к языку <tex>\mathrm{\#SAT}</tex> следующим образом: <tex>\varphi \mapsto \langle \varphi, 2^k \rangle </tex>, где <tex>k</tex> — количество различных переменных в формуле <tex>\varphi</tex>.

<tex>\varphi \in \mathrm{TAUT} \Leftrightarrow \forall x = (x_1, \ldots, x_k) \varphi(x) = 1 \Leftrightarrow \exists 2^{k} </tex> удовлетворяющих наборов <tex> x </tex> для <tex> \varphi(x) \Leftrightarrow \langle \varphi, 2^k \rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.

По лемме (2) <tex>\mathrm{\#SAT} \in \mathrm{IP}</tex>. Тогда <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{IP}</tex>. Так как <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}</tex>.
}}
== См. также ==
* [[Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM]]
* [[Арифметизация булевых формул с кванторами]]
* [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга]]
* [[Теорема Бермана — Форчуна]]
* [[Классы NP, coNP, Σ₁, Π₁]]

== Примечания ==
<references/>

[[Категория: Теория сложности]]
[[Категория: Вероятностные сложностные классы]]
[[Категория: Интерактивные протоколы]]