Просмотр исходного текста страницы Формула Тейлора для функций многих переменных

Как ранее было установлено, для функции одной переменной выполняется следующее:

<tex>y = f(x), x \in \mathbb{R};</tex> <tex>f(x)-f(x_0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</tex>

<tex>\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)</tex>

<tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\Delta x_k</tex>

<tex>\Delta f(x_0,\Delta x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\Delta x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\Delta x,\Delta x)</tex>

Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: <tex>x_0</tex> переходит в <tex>\overline {x_0}</tex>, а <tex>\Delta x</tex> — в <tex>\Delta \overline x</tex>, но сначала нужно дополнить наши теоретические построения.

Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.

<tex>\frac \partial{\partial x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. 
Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x_j} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.

В каком случае <tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}</tex>?

Докажем теорему, отвечающую на этот вопрос для функции двух переменных, для функции n переменных можно поступить аналогично.

{{Теорема
|about=О смешанных производных
|statement=
Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>\overline a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)</tex>
|proof=
<tex>\Delta_x f=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)</tex>

<tex>\Delta_y f=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)</tex>

<tex>\Delta_x \Delta_y f=\Delta_x (f(x,y+\Delta y)-f(x,y))=(f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y))-(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))</tex>

Если поменять местами операции, то мы получим то же самое (после раскрытия скобок). Цель доказательства — перезаписать это арифметическое равенство в частных производных второго порядка. Появятся дополнительные параметры, которые должны сократиться, и в итоге мы получим <tex>\Delta_x \Delta_y f=\Delta_y \Delta_x f</tex>.

Введём функцию <tex>g(t)=f(t,y+\Delta y)-f(t,y)</tex>.

<tex>\Delta _x \Delta _y f=g(x+\Delta x)-g(x)=g'(x+\theta \Delta x)\Delta x</tex>

<tex>g'(t)=\frac {\partial f}{\partial x}(t,y+\Delta y)-\frac {\partial f}{\partial x}(t,y)</tex>

<tex>\Delta _x \Delta _y f=\left ( \frac {\partial f}{\partial x} ( x + \theta_1 \Delta x,y+\Delta y ) - \frac {\partial f}{\partial x}( x + \theta_1 \Delta x,y) \right )\Delta x</tex>

<tex>g(t)=\frac {\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,t)</tex>

<tex>\Delta _x \Delta _y f=(g(y+\Delta y)-g(y))\Delta x=g'(y+\theta_2 \Delta y) \Delta x \Delta y</tex>

<tex>g'(t)=\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x+\theta_1\Delta x,t)</tex>

<tex>\Delta _x \Delta _y f=\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x+\theta_1\Delta x,y+\theta_2 \Delta y) \Delta x \Delta y</tex>

<tex>\Delta _y \Delta _x f=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x+\theta_3\Delta x,y+\theta_4 \Delta y) \Delta x \Delta y</tex>

Левые части двух равенств выше равны, значит, равны и правые. Рассмотрим <tex>\overline a = (a,b)</tex>:

<tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a+\theta_1\Delta a,b+\theta_2 \Delta b) \Delta a \Delta b=\frac {\partial^2 f}{\partial b \partial a}(a+\theta_3\Delta a,b+\theta_4 \Delta b) \Delta a \Delta b~~\forall \Delta a,\Delta b.</tex>  <tex>\theta_i \in (0,1)</tex>

В <tex>\overline a</tex> оба выражения непрерывны. Устремим <tex>\Delta a,\Delta b \to 0</tex> и по непрерывности в пределе приходим к нужной формуле.
}}
Следствие: Если в некотором шаре функция многих переменных имеет частные производные до <tex>p</tex>-го порядка включительно, и каждая из них непрерывна, то результат дифференцирования от последовательности переменных не зависит, важно лишь число дифференцирований по каждой переменной: <tex>\frac {\partial^{10} f}{\partial x^7 \partial y^3}=\frac {\partial^{10} f}{\partial y^3 \partial x^7}</tex>, например.


Определение дифференциалов высших порядков:

<tex>d^{n+1}f(\overline x, \Delta  \overline x)</tex><tex>=d(d^n f (\overline x, \Delta  \overline x))</tex><br>
<tex>d^2 f=d\left( \frac {\partial f}{\partial x}(\overline x) \Delta x-\frac {\partial f}{\partial y}(\overline x) \Delta y\right)</tex><tex>=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\overline x) \Delta x^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(\overline x) \Delta x\Delta y+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\overline x) \Delta y^2</tex>. Частные производные — непрерывны. Теперь пусть <tex>dx=\Delta x</tex>, <tex>dy=\Delta y</tex>: <tex>x=a+bt</tex>, <tex>dx=bdt</tex>

<tex>g(t)=f(a+bt,c+dt)</tex>

<tex>dg=g'(t)dt=\frac {\partial f}{\partial x}(a+bt)bdt+ \frac {\partial f}{\partial y}(c+dt)ddt</tex><tex>=\frac {\partial f}{\partial x}(a+bt)dx+ \frac {\partial f}{\partial y}(c+dt)dy=\frac{\partial f}{\partial x}</tex>


При линейной замене переменных дифференциал первого порядка инвариантен (да и n-го тоже).

<tex>g(t)=f(a+bt,c+mt)</tex>

<tex>d^n g=d^n f</tex>, <tex>dx=bdt,dy=mdt</tex>.

Рассмотрим пару <tex>(\overline a, \overline b)</tex>: <tex>\overline b - \overline a = \Delta \overline a</tex>

<tex>g(t)=f(\overline a+t\Delta \overline a)</tex>

<tex>g(1)-g(0)=f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)</tex>

<tex>g(1)-g(0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}g(0)}{k!}+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}g(\theta)</tex>

<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex> — формула Тейлора для функции многих переменных. При <tex>n=1</tex>:

<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline a)\Delta \overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (\overline a+\theta \Delta \overline a)\Delta a_i\Delta a_j</tex>

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]