Просмотр исходного текста страницы Безусловный экстремум функции многих переменных

[[Формула Тейлора для функций многих переменных|<<]] [[Локальная теорема о неявном отображении|>>]]

Так же, как и ранее, считаем, что все частные производные исследуемой функции непрерывны.


{{Определение
|definition=
Пусть задан линейный функционал <tex>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) </tex> на <tex> V(\overline{a}) \subset R^n </tex>.
Если при <tex>\| \Delta \overline{a} \| \le \delta</tex>, <tex>\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a})</tex>, то <tex>a</tex> {{---}} '''точка локального максимума'''. Аналогично определяется точка локального минимума.
}}

{{Теорема
|about=
Аналог теоремы Ферма
|statement=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a</tex>. Тогда <tex>\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0</tex>
|proof= 
<tex>f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) - f(\overline{a})</tex>
<tex>=\sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) \Delta a_j + o(\Delta \overline{a})</tex>

Пусть <tex>\Delta \overline{a} = h \overline{e_j}</tex>, где <tex> \overline{e_j} </tex> - базисный вектор.

Тогда <tex>\frac{f(\overline{a} + h \overline{e_j}) - f(\overline{a})}{h}</tex>
<tex>= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \frac{o(h \overline{e_j})}{h}</tex> 

Последнее слагаемое стремится к 0 при <tex>h</tex> стремящемся к 0.
Числитель дроби в левой части сохраняет знак из-за экстремальности точки <tex>a</tex>, поэтому предел дроби имеет разные знаки в зависимости от стремления к нулю(справа или слева), но по единственности предела: <tex>\frac{\partial f}{\partial x_j} (\overline{a}) = 0</tex>.
}}

Пусть <tex>y = f(\overline{x})</tex>, исследуем на экстремум в <tex>\overline{a}</tex>.

Составляем систему:

<tex>\begin{cases} 
  \frac{\partial f}{\partial x_1} \overline{a} = 0\\
  \dots\\
  \frac{\partial f}{\partial x_n} \overline{a} = 0
\end{cases}</tex>

Решения {{---}} стационарные точки, включают в себя экстремальные. 
Если <tex>a</tex> {{---}} стационарна, то по формуле Тейлора:
<tex>f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) - f(\overline{a})</tex>
<tex>= \frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) \Delta a_i \Delta a_j</tex>

Записывая <tex>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i  \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a})</tex> как <tex>A_{ij} + \alpha_{ij}</tex>, если <tex>A_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i  \partial x_j } \overline{a}</tex>:

<tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex>
<tex>= \frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta a_i \Delta a_j +\frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta a_i \Delta a_j</tex>

<tex>\xi_i = \frac{\Delta a_i}{\| \Delta \overline{a} \|}</tex>, приходим к записи:
<tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex>
<tex>= \frac12 {\| \Delta \overline{a} \|}^2 \left( \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij}  \xi_i  \xi_j +\sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij}  \xi_i  \xi_j \right)</tex>(*)

Обращаем внимание, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} \xi_i^2 = 1</tex>, то есть <tex>\xi = (\xi_1, \dots ,\xi_n) \in \delta_n </tex> {{---}} замкнутая сфера единичного радиуса, то есть ограниченное замкнутое множество, которое является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>.

Так как все частные производные непрерывны, то все <tex>\alpha_{ij}</tex> стремятся к 0, если <tex>\Delta a</tex> стремится к 0.


Воспользуемся тем, что квадратичные формы можно классифицировать по знаку их значений.
Форма является строго положительно определенной, если при <tex>\forall \bar \xi  \ne 0</tex> знак суммы <tex>A_{ij} \xi_i \xi_j > 0</tex> (например,<tex>\xi_1^2 + \dots + \xi_n^2</tex>).

Будем считать, что интересующая нас форма именно такая. Но на <tex>\delta_n</tex> она {{---}} непрерывная функция, а координаты на сфере все координаты не могут быть равны нулю одновременно.

По теореме Вейерштрасса форма принимает минимальное значение <tex>m > 0</tex>.

Вывод: <tex>\forall \overline{\xi} \in \delta_n \Rightarrow \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \xi_i \xi_j</tex>, где <tex>\alpha_{ij}</tex> стремится к 0, а <tex>\xi_i, \xi_j</tex> ограничены. Приходим к выводу что сумма стремится к нулю.

Значит: <tex>\exists \delta > 0 : \| \Delta \overline{a} \| < \delta \Rightarrow \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j > -\frac12 m</tex>

При таких <tex>\Delta \overline{a} : \sum A_{ij} \xi_i \xi_j + \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j> \frac12 m > 0</tex>

Используя все в соотношении(*), получаем, что
<tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) > \frac14 m {\|\Delta \overline{a} \|}^2 > 0 \Rightarrow \overline{a}</tex> {{---}} точка локального минимума.

В результате: если <tex>df(\overline{a}) = 0</tex>, а <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex> как квадратичная форма строго положительно определенная, то <tex>a</tex> {{---}} точка локального минимума.

Аналогично, если квадратичная форма строго отрицательно определена, то <tex>a</tex> {{---}} точка локального максимума.

Той же техникой показывают, что если <tex>d^2f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex> незнакоопределённая, то в точке <tex>a</tex> в ней локального экстремума нет.

Остается ситуация: <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) \ge 0</tex> или <tex>\le 0</tex> (нестрого знакоопределённая) {{---}} тогда проблема требует дополнительного исследования.

[[Формула Тейлора для функций многих переменных|<<]] [[Локальная теорема о неявном отображении|>>]]
[[Категория: Математический анализ 1 курс]]