Просмотр исходного текста страницы Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга

[[Категория: Теория сложности]]
'''Вероятностные вычисления''' — один из подходов в теории вычислительной сложности, в котором программы получают доступ, говоря неформально, к генератору случайных чисел. Мы рассмотрим классы сложности, для которых программы могут работать за полиномиальное время и делать односторонние, двусторонние ошибки или работать за полиномиальное время лишь в среднем случае.

{{Определение
|definition =
'''Вероятностная лента''' — бесконечная в одну сторону последовательность битов, распределение которых подчиняется некоторому вероятностному закону (обычно считают, что биты в различных позициях независимы и вероятность нахождения <tex>0</tex> или <tex>1</tex> в каждой позиции равна <tex>1/2</tex>).
}}
{{Определение
|definition =
'''Вероятностная машина Тьюринга''' (ВМТ) — детерминированная машина Тьюринга, имеющая вероятностную ленту. Переходы в ВМТ могут осуществляться с учетом информации, считанной с вероятностной ленты.
}}

Используя тезис Черча-Тьюринга, ВМТ можно сопоставить программы, имеющие доступ к случайным битам. Обращение к очередному биту можно трактовать как вызов специальной функции ''random''(). При этом также будем предполагать, что вероятностная лента является неявным аргументом программы или ВМТ, т.е. <tex>p(x) = p(x, r)</tex>, где <tex>r</tex> — вероятностная лента.

Введем [http://ru.wikipedia.org/wiki/Вероятностное_пространство вероятностное пространство] <tex>(\Omega, \Sigma, \operatorname{P})</tex>, где пространство элементарных исходов <tex>\Omega</tex> — множество всех вероятностных лент, <tex>\Sigma</tex> — сигма-алгебра подмножеств <tex>\Omega</tex>, <tex>\operatorname{P}</tex> — вероятностная мера, заданная на <tex>\Sigma</tex>. Будем считать, что <tex>\Sigma</tex> порождена событиями, зависящими лишь от конечного числа бит вероятностной ленты (то есть существующими в дискретных вероятностных пространствах). Покажем, что любой предикат от ВМТ является событием.
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>m</tex> — ВМТ. Тогда для любых <tex>x</tex> и <tex>A</tex> — предиката от <tex>m</tex> выполняется <tex>R = \{r \bigm| A(m(x, r))\} \in \Sigma</tex>, т.е. <tex>R</tex> измеримо.
|proof=
<tex>R = \bigcup\limits_{i = 0}^\infty R_i</tex>, где <tex>R_i = \{r \bigm| A(m(x, r)), m</tex> прочитала ровно <tex>i</tex> первых символов с <tex>r\}</tex>. Это верно, поскольку мы рассматриваем только завершающиеся ВМТ. Кроме того, из определения <tex>R_i</tex> следует, что они дизъюнктны.

<tex>R_i \in \Sigma</tex> как зависящие от <tex>i</tex> первых битов вероятностной ленты, <tex>\operatorname{P}(R_i) = \frac{1}{2^i} \cdot |\{s \bigm| |s| = i, s</tex> — префикс <tex>r \in R_i\}|</tex>.

<tex>R \in \Sigma</tex> как счетное объединение событий, при этом из их дизъюнктности следует, что <tex>\operatorname{P}(R) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \operatorname{P}(R_i)</tex>.
}}

== См. также ==
* [[Классы RP и coRP]]
* [[Класс ZPP]]
* [[Класс BPP]]

== Литература ==
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/ Sanjeev Arora, Boaz Barak. Computational Complexity: A Modern Approach]