Просмотр исходного текста страницы Задачи интерполирования функции

== Задача интерполяции ==
{{Определение
|definition=
Система узлов &mdash; набор из чисел <tex>x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n</tex> и <tex>y_0, y_1, y_2, \ldots ,y_n</tex>.
}}

Дана система узлов. Требуется найти полином <tex>P_n</tex> степени не выше <tex>n</tex> такой, что <tex>P_n(x_k) = y_k, k=\overline{0,n}</tex>.

Будем искать его в форме Лагранжа, хотя имеется ряд равносильных представлений, например, в 
форме Ньютона.

Докажем от противного, что таких полиномов не более одного. Допустим, что существует еще один такой полином <tex>\tilde P_n</tex>.
Рассмотрим полином <tex>M_n = P_n - \tilde P_n</tex>. Тогда&nbsp;<tex>M_n(x_k) = y_k - y_k = 0, k = \overline{0,n}</tex>, 
то есть этот полином имеет  <tex>n+1</tex> корень, но <tex>\deg M_n \le n</tex>. Получили противоречие.



Будем искать его в форме Лагранжа. Для этого построим ''фундаментальные полиномы''.

{{Определение
|definition=
Фундаментальные полиномы <tex>\Phi_j(x)</tex> степени не выше <tex>n</tex> &mdash; полиномы, отвечающие заданной 
системе узлов <tex>x_0 < x_1 < x_2 <\ldots < x_n</tex> такие, что
<tex>
\Phi_j(x_k) = \left\{
	\begin{aligned}
		1 & ,\quad k = j\\
		0 & ,\quad k \ne j\\
	\end{aligned}\right.
</tex>.
}}

Для его построения обозначим за <tex>\omega_n(x) = \prod\limits_{j = 0}^n (x - x_j)</tex>. Это полином степени <tex>n + 1</tex>.

Составим выражение <tex dpi = "150">\frac{\omega_n(x)}{(x - x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex>, <tex>x \ne x_j</tex>. В этом случае дробь корректно определена.
При <tex>x \to x_j</tex> получаем неопределённость <tex dpi = "150">\frac00</tex>. Раскроем её по правилу Лопиталя: <tex dpi = "150">\frac{\omega'_n(x)}{\omega_n'(x_j)} = 1</tex> при <tex>x \to x_j</tex>.
Тогда доопределим по непрерывности дробь единицей. Но при <tex>x \ne x_j</tex> &mdash; это полином <tex>n</tex>-й степени. Значит, 
<tex dpi = "150">\Phi_j(x) = \frac{\omega_n(x)}{(x-x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex>.

Тогда 
<tex>
\Phi_j(x_k) = \left\{
	\begin{aligned}
		1 & ,\quad k = j\\
		0 & ,\quad k \ne j\\
	\end{aligned}\right.
</tex>, что и требовалось.

Обозначим <tex>L_n(x) = \sum\limits_{j = 0}^n y_j \Phi_j(x)</tex>.

<tex>L_n(x_k) = \sum\limits_{j = 0}^n y_j \Phi_j(x_k) = y_k \Phi_k(x_k) = y_k</tex>. 

Требуемый полином <tex>L_n(x)</tex> найден.

Замечание: из формулы для фундаментальных полиномов <tex>\Phi_j(x)</tex> легко записать в развёрнутом виде:

<tex dpi = "150">
\Phi_j(x) = \frac
{(x-x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_{j- 1})(x - x_{j + 1})\cdots(x - x_n)}
{(x_j - x_0)(x_j - x_0)\cdots(x_j - x_{j-1})(x_j - x_{j + 1})\cdots(x_j - x_n)}
</tex>

== Трактовки и другие задачи ==
Выведенную ранее [[Формула Тейлора для произвольной функции|формулу Тейлора]] можно трактовать следующим образом: 
«Дана функция <tex>f(x)</tex>. Найти полином <tex>T_n</tex> степени не выше <tex>n</tex> такой, что <tex>f^{(k)}(x_0) = T_n^{(k)}(x_0), k = \overline{0, n}</tex>».

Ранее мы обнаружили, что это 
<tex>T_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac
{f^{(k)}(x_0)}
{k!}
\cdot (x - x_0)^k
</tex>.

Теперь другая задача: «Дана функция <tex>f</tex> и система узлов. Требуется найти полином <tex>L_n</tex> степени не выше <tex>n</tex> такой, что
<tex>\forall x_j: j = \overline{0..n}\quad L_n(x_j) = f(x_j)</tex>
»

Положим <tex>L_n(x) = \sum\limits_{j = 0}^n \Phi_j(x_j) \cdot f(x_j)</tex>. По пункту 1 этот полином решает поставленную задачу.
Для полинома Тейлора <tex>f(x) = T_n(x) + \frac
{f^{(n + 1)}(c_x)}
{(n + 1)!} \cdot (x - x_0)^{n + 1}
</tex>.

Сейчас будет доказана теорема, аналогичная теореме об интерполяционном полиноме Лагранжа, после чего станет ясно, что это задачи одного класса.
Во втором случае это изложено на языке производных, а в первом &mdash; через значения функции в точках.

Эти два метода метода можно комбинировать, лишь бы информативных значений было <tex>n + 1</tex>. Такие промежуточные задачи называют 
''интерполированием по Эрмиту''. <s>Но они никому не нужны.</s>

=== Теорема Лагранжа === 

{{Теорема
|about=
Лагранжа
|statement= 
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема на <tex>\langle a; b\rangle</tex>. На этом промежутке задана система узлов.
Тогда для соответственного интерполяционного полинома Лагранжа выполняется равенство
<tex>f(x) = L_n(x) + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n+1)!} \cdot \omega_n(x)</tex>, где <tex>c_x</tex> &mdash; некоторая точка из <tex>\langle a; b \rangle</tex>, зависящая от <tex>x</tex>. 
|proof=
Случай <tex>x = x_k</tex> тривиален.
Пусть тогда <tex>x \ne x_k</tex>.

Для доказательства применим теорему Ролля. Определим вспомогательную функцию <tex>g(t) = f(t) - L_n(t)- k \omega_n(t)</tex>, где <tex>k</tex> &mdash; коэффициент, 
подлежащий определению, а <tex>x</tex> дано.

<tex>\forall j = \overline{0, n}:\quad g(x_j) = f(x_j) - L_n(x_j) - k \omega_n(x_j) = 0</tex>

Для определения <tex>k</tex> потребуем, чтобы <tex>g(x)</tex> было равно <tex>0</tex>. 

<tex>g(x) = f(x) - L_n(x) - k \omega_n(x) = 0</tex>

<tex>\omega_n(x) \ne 0</tex>, так как <tex>x \ne x_j</tex>.

<tex>k = \frac{f(x) - L_n(x)}{\omega_n(x)}\quad (1)\, .</tex>

Итак, при выбранном <tex>k</tex> будет <tex>g(x_j) = 0</tex>, <tex>g(x) = 0</tex>, то есть <tex>g</tex> принимает нулевые значения в <tex>n + 2</tex> точках. Очевидно, 
из узлов и точки <tex>x</tex> можно сделать <tex>n + 1</tex> последовательный отрезок. На конце каждого из них <tex>g</tex> принимает значение <tex>0</tex>.
Значит, по теореме Ролля на каждом из них найдётся по корню [[Дифференциал и производная|производной]]. Из полученных корней можно сделать <tex>n</tex> отрезков, 
на каждом из них по теореме Ролля найдётся по корню второй производной… В конце концов останется один отрезок, границами которого
будут корни <tex>g^{(n)}</tex>. Тогда по теореме Ролля на этом отрезке найдётся корень <tex>g^{(n + 1)}</tex>. Его и обозначим за <tex>c_x</tex>.

Подведём промежуточный итог: найдено <tex>c_x</tex> такое, что <tex>g^{(n + 1)}(c_x) = 0</tex>. 

<tex>g(t) = f(t) - L_n(t) - k \omega_n(t)</tex>

Продифференцируем <tex>n + 1</tex> раз. <tex>\deg L_n(x) \leq n \Rightarrow L_n^{(n + 1)} = 0</tex>. <tex>\omega_n(t) = t^{n + 1} + \ldots \Rightarrow \omega^{(n + 1)}_n = (n + 1)!</tex>.

Таким образом, <tex>g^{(n + 1)}(t) = f^{(n + 1)}(t) - k\cdot (n + 1)!</tex>. 

Подставим <tex>t = c_x</tex>.

<tex>0 = g^{(n + 1)}(c_x) = f^{(n + 1)}(c_x) - k\cdot (n + 1)!</tex>

<tex>k = \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!}\quad (2)\, .</tex>

Утверждение теоремы напрямую следует из равенств <tex>(1)</tex> и <tex>(2)</tex> .
}}

=== Следствие ===

В условиях теоремы выполняется неравенство <tex>|f(x) - L_n(x)| \leq \frac{M_{n + 1}}{(n + 1)!} (b - a)^{n + 1}</tex>, где 
<tex>M_{n + 1} = \sup\limits_{\langle a; b \rangle} |f^{(n + 1)}|.</tex>

Оно следует из того, что для всех <tex>x</tex> на <tex>\langle a; b \rangle\,|x - x_j| \le b - a.</tex>

=== Замечание ===

Следует понимать, что на самом деле какую бы систему узлов мы не взяли на <tex>\langle a; b \rangle</tex> как по числу
точек в ней, так и по характеру распределения значений, для этого промежутка всегда можно построить непрерывную функцию, для которой ее интерполяционный многочлен будет отличаться от неё сколь угодно много.

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]