Просмотр исходного текста страницы Классы NP, coNP, Σ₁, Π₁

== Определения, связь Σ₁ и NP ==
{{Определение
|id=def1
|definition=<tex>\mathrm{NP}=\!\!\bigcup\limits_{p(n) \in \mathit{poly}}\!\!\operatorname{NTIME}(p(n))</tex>.
}}
То есть <tex>\mathrm{NP}</tex> — это множество языков, разрешимых [[Недетерминированные вычисления|недетерминированной программой]] за полиномиальное время.
{{Определение
|definition=<tex>\mathrm{coNP} = \{L \bigm| \overline{L} \in \mathrm{NP}\}</tex>.
}}
То есть <tex>\mathrm{coNP}</tex> — это множество языков, дополнение к которым лежит в <tex>\mathrm{NP}</tex>.
{{Определение
|definition=<tex>\mathrm{\Sigma_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in \mathit{poly} : x\in L\Leftrightarrow\exists y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}</tex>.
}}
Нестрого говоря, <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex> — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор <tex>R(x,y)</tex>, а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором.
{{Определение
|definition=<tex>\mathrm{\Pi_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in \mathit{poly} : x\in L\Leftrightarrow\forall y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}</tex>.
}}
То есть <tex>\Pi_1</tex> — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор <tex>R(x,y)</tex>, а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) нельзя предъявить сертификат длины, ограниченной неким полиномом, опровергающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором. Легко видеть, что <tex>\Pi_1</tex> — множество языков, дополнения к которым лежат в <tex>\Sigma_1</tex>.
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathrm{\Sigma_1}=\mathrm{NP}</tex>.
|proof=
<tex>\Rightarrow \quad(\mathrm{\Sigma_1} \subset \mathrm{NP})</tex>.

: Пусть <tex>L \in \mathrm{\Sigma_1}</tex>. Тогда существуют <tex>R(x,y)</tex> и полином <tex>p</tex> из определения <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex>. Построим     недетерминированную программу <tex>q(x)</tex>, разрешающую <tex>L</tex>.
 <tex>q(x)\colon</tex>
   <tex>y = \{0,1\}^{p(|x|)}</tex>
   '''return''' <tex>R(x,y)</tex>
: Если <tex>x\in L</tex>, то программа сможет «угадать» подходящий сертификат. Если <tex>x\notin L</tex>, то подходящего сертификата не существует по определению. Таким образом, <tex>q</tex> разрешает <tex>L</tex>, следовательно <tex>L\in \mathrm{NP}</tex>.
<tex>\Leftarrow \quad(\mathrm{NP} \subset \mathrm{\Sigma_1})</tex>.
:Пусть <tex>L\in \mathrm{NP}</tex>. Тогда существует недетерминированная программа <tex>q(x)</tex>, разрешающая этот язык. Построим верификатор <tex>R(x,y)</tex>. В качестве сертификата будем использовать последовательность выборов в программе <tex>q</tex>, приводящую к допуску слова (такой сертификат имеет полиномиальную длину, поскольку выборов в <tex>q</tex> может быть сделано не более, чем время ее работы, то есть не более, чем полином). Верификатор будет аналогичен программе <tex>q</tex>, только вместо каждого недетерминированного выбора он будет присваивать значение, указанное в сертификате. Если <tex>x\in L</tex>, то в <tex>q</tex> существует последовательность выборов таких, что <tex>q(x)=1</tex>, следовательно существует и верный сертификат. Если <tex>x\notin L</tex>, то для любой последовательности выборов <tex>q(x)=0</tex>, следовательно подходящего сертификата не существует. Таким образом, <tex>L \in \mathrm{\Sigma_1}</tex>.
}}
'''Примечание:''' определение <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex> часто называют также «определением <tex>\mathrm{NP}</tex> на языке сертификатов», а <tex>\Pi_1</tex>, соответственно, «определением <tex>\mathrm{coNP}</tex> на языке сертификатов».

== Свойства ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>L_1,L_2\in \mathrm{NP}</tex>. Тогда:
#<tex>L_1\cap L_2\in \mathrm{NP}</tex>.
#<tex>L_1\cup L_2\in \mathrm{NP}</tex>.
#<tex>L_1L_2\in \mathrm{NP}</tex>.
#<tex>L_1^*\in \mathrm{NP}</tex>.
|proof=
Пусть <tex>p</tex> разрешает <tex>L_1</tex>, а <tex>q</tex> разрешает <tex>L_2</tex>.

:1. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cap L_2</tex> за полиномиальное время:
 <tex>r(x)\colon</tex>
   '''return''' <tex>p(x)</tex> '''and''' <tex>q(x)</tex>
:2. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cup L_2</tex> за полиномиальное время:
 <tex>r(x)\colon</tex>
   '''return''' <tex>p(x)</tex> '''or''' <tex>q(x)</tex>
:3. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1L_2</tex> за полиномиальное время:
 <tex>r(x)\colon</tex>
   <tex>n = |x|</tex>
   <tex>mid \gets?\ \{1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n\}</tex>
   '''return''' <tex>p(x[1 \mathinner{\ldotp\ldotp} mid])</tex> '''and''' <tex>q(x[mid+1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n])</tex>
:4. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1^*</tex> за полиномиальное время:
 <tex>r(x)\colon</tex>
   <tex>n = |x|</tex>
   <tex>prev = 1</tex>
   '''do'''
     <tex>cur \gets?\  \{prev \mathinner{\ldotp\ldotp} n\}</tex>
     '''if not''' <tex>p(x[prev \mathinner{\ldotp\ldotp} cur])</tex>
       '''return''' ''false''
     <tex>prev = cur + 1</tex>
   '''while''' <tex>cur \ne n</tex>
   '''return''' ''true''
: Цикл совершит не более <tex>n</tex> итераций, т.к. на каждой итерации левая граница диапазона увеличивается как минимум на 1.
}}

== Примеры языков из NP ==
=== Язык палиндромов ===
Этот язык разрешается автоматом с магазинной памятью, то есть принадлежит <tex>\mathrm P</tex>, а следовательно, и <tex>\mathrm{NP}</tex>.
=== Язык задачи о раскраске вершин графа в <tex>k</tex> цветов ===
{{main|Раскраска графа}}
Переформулируем задачу в терминах принадлежности языку: пусть <tex> L = \{ \langle G, k \rangle \mid </tex>&nbsp; вершины <tex>G</tex> можно раскрасить в <tex>k</tex> цветов <tex>\}</tex>.

Этот язык разрешается следующей недетерминированной программой за полиномиальное относительно числа вершин и рёбер время:
 <tex>r(\langle G, k \rangle)\colon</tex>
   <tex>n = |V(G)|</tex>
   <tex>c \gets?\ \{ 1, \dotsc, k \} ^ n</tex>
   '''for''' <tex>uv</tex> '''in''' <tex>E(G)</tex>
     '''if''' <tex>c[u]</tex> == <tex>c[v]</tex>
       '''return''' ''false''
   '''return''' ''true''

=== Язык гамильтоновых графов ===
{{main|NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах}}
Рассмотрим следующий язык: <tex>\mathrm{HAM} = \{ G \mid G</tex> содержит гамильтонов цикл<tex>\}</tex>. Он разрешается следующей программой, работающей за полиномиальное относительно числа вершин время:
 <tex>r(G)\colon</tex>
   <tex>n = |V(G)|</tex>
   <tex>p \gets?\ V(G) ^ n</tex>
   '''for''' <tex>v</tex> '''in''' <tex>V(G)</tex>
     '''if''' <tex>v \notin p</tex>
       '''return''' ''false''
   <tex>p[n + 1] = p[1]</tex>
   '''for''' <tex>i = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex>
     '''if''' <tex>p[i]p[i + 1] \notin E(G)</tex>
       '''return''' ''false''
   '''return''' ''true''

Два последних языка также являются [[Примеры_NP-полных_языков._Теорема_Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полными]]. По [[Теорема Ладнера|теореме Ладнера]], если <tex>\mathrm{P \ne NP}</tex>, то существует язык из <tex>\mathrm{NP}</tex>, не являющийся <tex>\mathrm{NP}</tex>-полным.

== Примеры языков из coNP ==
=== Язык графов, не являющихся гамильтоновыми ===
Этот язык принадлежит <tex>\mathrm{coNP}</tex>, так как является дополнением к языку гамильтоновых графов, принадлежащему <tex>\mathrm{NP}</tex>, как показано выше.
   
=== TAUT ===
{{main|Теорема Бермана — Форчуна}}
Язык булевых формул, являющихся тавтологиями. К этому языку тривиально сводится дополнение к <tex>\mathrm{SAT}</tex>: если отрицание формулы невыполнимо, то она является тавтологией, и наоборот.

== Связь P и NP ==
Очевидно, что <tex>\mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP}</tex>, так как детерминированные программы можно рассматривать как недетерминированные, в которых не используется недетерминированный выбор. Вопрос о равенстве данных классов до сих пор остается открытым. Были осуществлены различные подходы к разрешению этой задачи: попытка найти [[Теорема_Махэни|редкий <tex>\mathrm{NP}</tex>-полный язык]]; было доказано, что [[Теорема_Бейкера_—_Гилла_—_Соловэя|доказательство должно быть нерелятивизующимся]].
Кроме того, были предприняты различные попытки найти полиномиальные решения для задач из <tex>\mathrm{NPC}</tex>:
* «решение» 3SAT за полиномиальное время<ref>[http://arxiv.org/abs/1011.3944 Non-Orthodox Combinatorial Models Based on Discordant Structures]</ref>
* задача о коммивояжёре<ref>[http://www.cse.yorku.ca/~aaw/Zambito/TSP_Survey.pdf The Traveling Salesman Problem: A Comprehensive Survey]</ref>.

Некоторые задачи из <tex>\mathrm{P}</tex> очень похожи на задачи из <tex>\mathrm{NP}</tex>, при этом различие между задачами кажется совершенно незначительным:
{| class="wikitable"
|-
!Принадлежит <tex>\mathrm P</tex>||<tex>\mathrm{NP}</tex>-полная
|-
|[[Обход_в_ширину|Поиск самых коротких простых путей]]||Поиск самых длинных простых путей<ref>[//en.wikipedia.org/wiki/Longest_path_problem Longest path problem - Wikipedia]</ref>
|-
|[[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеров цикл]]||[[NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах|Гамильтонов цикл]]
|-
|[[2SAT|2-CNF выполнимость]]||[[Примеры NP-полных языков#NP-полнота 3-SAT|3-CNF выполнимость]]
|}

== См. также ==
* [[Недетерминированные вычисления]]

== Примечания ==
<references/>

[[Категория: Классы сложности]]
[[Категория: Детерминированные и недетерминированные вычисления, сложность по времени и по памяти ]]
[[Категория: Классы P и NP, NP-полнота]]