Просмотр исходного текста страницы Классы Sharp P, Sharp P-Complete

== Класс #P ==
{{Определение
 |definition = <tex>f : \{0,1\}^*  \rightarrow \mathbb{N}</tex> принадлежит <tex>\#P</tex>, если существует <tex>p \in Poly</tex> и работающая за полиномиальное время машина Тьюринга <tex>M</tex> такая, что для любого <tex>x \in \{0,1\}^* : f(x) = | \{y \in \{0,1\}^{p(|x|)} : M(x,y) = 1 \} |</tex>.
}}
По аналогии с классом <tex>NP</tex> мы можем дать альтернативное определение определение классу <tex>\#P</tex>, используя понятие недетерменированной МТ.
{{Определение
 |definition = '''Класс''' <tex>\#P-</tex>  класс задач подсчета, решением которых является количество успешных (завершающихся в допускающих состояниях) путей вычислений для '''недетерминированной''' МТ, работающей за полиномиальное время. Отличается от большинства рассмотренных классов тем, что задачи требуют в качестве ответа не  <tex>``0"</tex> или <tex>``1"</tex>, а натуральное число.
}}

{{Определение
 |definition ='''Класс''' <tex>\mathrm{FP}</tex> {{---}} класс задач подсчета, разрешимых на '''детерминированной''' машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть:
<tex>f : \{0,1\}^*  \rightarrow \mathbb{N}</tex> принадлежит <tex>FP</tex>, если существует <tex>p \in Poly</tex> и работающая за полиномиальное время '''детерминированная''' машина Тьюринга <tex>M</tex> такая, что для любого <tex>x \in \{0,1\}^* </tex> выполняется <tex> f(x) = M(x)</tex>.
}}
Вопрос, являются ли задачи из <tex>\#P</tex> эффективно разрешимыми, остается открытым. Подсчет числа сертификатов как минимум столь же сложен, как и проверка наличия сертификата, а значит, если, доказать равенство <tex>\#P=FP</tex>, то автоматически будет доказано <tex>NP=P</tex>. Однако, из  <tex>NP=P</tex> вовсе не следует  <tex>\#P=FP</tex>. Также можно заметить, что если  <tex>PSPACE  = P</tex>, то  <tex>\#P=FP</tex>, так как подсчет числа сертификатов может быть выполнен за полиномиальную память.

== Примеры задач из #P ==
*[[Sharp SAT|#SAT]]
* <tex>\#CYCLE</tex> - имея ориентированный граф <tex>G</tex>, посчитать число простых циклов. Аналогичная задача, отвечающая на вопрос, существует ли в заданном ориентированном графе простой цикл, может быть решена за линейное время при помощи поиска в ширину. Проблема подсчета всех простых циклов значительно сложнее.
*Для данного массива целых чисел посчитать количество подмножеств его элементов, таких, что сумма по всем элементам подмножества равняется 0.
*Для данного взвешенного неориентированного графа посчитать количество Гамильтоновых циклов веса меньше k.

{{Теорема
|statement=
Если <tex>\#CYCLE \in FP</tex>, тогда <tex>P=NP</tex>.

|proof=
[[Файл:cycle_block.png|thumb|300px|Блок H]]
Для графа <tex>G</tex> с <tex>n</tex> вершинами построим граф <tex>G'</tex> такой, что в <tex>G</tex> есть Гамильтонов цикл тогда и только тогда, когда в <tex>G'</tex> есть <tex>n^{n^2}</tex> циклов. Чтобы получить <tex>G'</tex>, заменим каждое ребро <tex>(u,v)</tex> из <tex>G</tex> на блок <tex>H</tex>.  Блок состоит из <tex>m = n \cdot \log{n} + 1</tex> уровней. <tex>H</tex> представляет из себя ацикличный граф, а значит циклы в <tex>G'</tex> соответствуют циклам в <tex>G</tex>. Кроме того, существует <tex>2^m</tex> различных путей между <tex>u</tex> и <tex>v</tex> внутри блока, следовательно простому циклу длины <tex>l</tex> в <tex>G</tex> соответствует цикл длины <tex>2^{(ml)}</tex> в <tex>G'</tex>. 
<br>
Заметим, что, если граф <tex>G</tex> содержит гамильтонов цикл, то в <tex>G'</tex> существует минимум <tex>2^{mn} > n^{n^2}</tex> циклов.
<br>
Проверим в обратную сторону. Если в <tex>G</tex> не существует Гамильтонова цикла, то самый длинный цикл в <tex>G</tex> имеет длину не больше <tex>n-1</tex> и число циклов не может превысить <tex>n^{n-1}</tex>. Таким образом, в <tex>G'</tex> будет не более чем <tex>(2^m)^{n-1} \cdot n^{n-1} < n^{n^2}</tex> циклов.
<br>
Преобразование графа <tex>G</tex> в <tex>G'</tex> можно выполнить за полином от количества вершин. Таким образом, если <tex>\#CYCLE \in FP</tex>, тогда сразу же <tex>HAM \in P</tex>. А так как <tex>HAM \in NP</tex>, то <tex>NP = P</tex>.
}}

==Класс #P-Complete==
{{Определение
|definition= <tex>f : \{0, 1\}^* \rightarrow  \{0, 1\}^*</tex> является <tex>\#P</tex>-полной, если <tex> f  \in \#P</tex> и любая проблема из <tex>\#P</tex> может быть сведена к ней за полиномиальное время.
}}

Будем использовать МТ с оракулом <tex> O = \{\big \langle x, i \big \rangle: f(x)_i = 1\}</tex> для нашей функции <tex>f</tex>. Для нашего типа задач оракул будет отвечать на вопросы вида "Принадлежит ли слово <tex>q</tex> языку <tex>O</tex>?" за один шаг МТ. Для функции <tex>f = \{0,1\}^* \rightarrow  \{0, 1\}^*</tex> будем называть <tex>FP^f</tex> множество функций, вычислимых за полиномиальное время на МТ с оракулом для функции <tex>f</tex>.

Тогда <tex>f - \#P-</tex>полная, если <tex>f \in \#P</tex> и  любая <tex>g \in \#P</tex> принадлежит <tex>FP^f</tex>. 

Если <tex>f \in FP </tex>, тогда <tex>FP=FP^f</tex>. Получаем, что, если <tex>f -  \#P</tex>-полная и  <tex>f \in FP</tex>, то <tex>FP=\#P</tex>.

== Примеры #P-Complete задач ==
*[[#SAT]]
*Посчитать количество удовлетворяющих назначений для заданной в ДНФ формулы. 
*Посчитать количество полных паросочетаний в данном двудольном графе. 
*Посчитать количество способов раскрасить заданный граф в <tex>k</tex> цветов.
*Вычислить значение перманента матрицы, заполненной нулями и единицами.

{{Определение
 |definition =Перманентом матрицы А размером <tex>n \times n</tex> называется <tex>perm(A) = \sum\limits_{\sigma \in S_n} \prod\limits^n_{i =1}A_{i\sigma(i)}</tex>, где <tex>S_n -</tex> множество всех перестановок из <tex>n</tex> элементов. 
}}

{{Теорема
|statement=
Задача вычисления перманента матрицы, заполненной нулями и единицами является <tex>\#P-</tex>полной.
|proof=
[[Файл:Variable_block.png|thumb|200px|Блок переменной]]
[[Файл:clause_block.png|thumb|150px|Блок клоза]]
[[Файл:xor_block.png|thumb|200px|Блок XOR]]
[[Файл:blocks_connection.png|thumb|200px|Блок XOR]]
Задача нахождения перманента <tex>0,1-</tex>матрицы может быть сформулирована как задача подсчета количества перестановок, для которых произведение соответствующих элементов матрицы равно <tex>1</tex>. В такой формулировке задача нахождения перманента <tex>0,1-</tex>матрицы принадлежит классу <tex>\#P</tex> по определению.

Докажем, что задача <tex>perm</tex> является <tex>\#P-</tex>полной. Нам известно, что задача <tex>\#SAT</tex> является <tex>\#P-</tex>полной. Аналогично задачам <tex>SAT</tex> и <tex>3SAT</tex> мы можем сказать, что задача <tex>\#SAT</tex> может быть сведена к задаче <tex>\#3SAT</tex>, которая также будет <tex>\#P-</tex>полной. Теперь сведем задачу <tex>\#3SAT</tex> к задаче <tex>perm</tex>.

По данной формуле <tex>\phi</tex> с <tex>n</tex> переменными и <tex>m</tex> клозами построим целочисленную матрицу <tex>A'</tex> такую, что <tex>perm(A')=4^m\cdot(\#\phi)</tex>, где <tex>\#\phi -</tex> количество удовлетворяющих подстановок для <tex>\phi</tex>. Для этого будем рассматривать матрицу <tex>A'</tex> как матрицу смежности двудольного графа <tex>G'</tex> : <tex>X = \{x_1 \ldots \, x_n\}, \,  \{x_i, x_j\} \in V(G) \iff A_{i, j} = 1</tex>. Таким образом, нашей целью будет построение некоторого графа <tex>G'</tex>, матрицей смежности которого будет <tex>A'</tex>. 

Для этого по данной 3-КНФ формуле построим ориентированный граф <tex>G'</tex> таким образом, чтобы в нем существовали покрытия циклами двух видов: те, которые соответствуют удовлетворяющим назначениям, и те, которые не соответствуют. Назовем покрытием ориентированного графа циклами такой подграф, что для любой вершины есть  ровно одно входящее и исходящее ребро. Такой подграф должен состоять из циклов. Определим вес покрытия как произведение весов ребер, входящих в него. Тогда <tex>perm(A)</tex> равен сумме весов всех возможных покрытий циклами. Далее покажем, что любое удовлетворяющее назначение для формулы <tex>\phi</tex> будет добавлять <tex>4^m</tex> к <tex>perm(A')</tex>, а любое другое назначение не будет вносить вклад. Тогда <tex>perm(A')=4^m\cdot(\#\phi)</tex>.

Построение графа <tex>G'</tex> выполним за полиномиальное время. Для этого будем использовать три вида блоков. (Все ребра, для которых на схеме не указан вес, имеют вес <tex>1</tex>.) 

'''Блок переменной'''. Блок каждой переменной имеет два покрытия циклами, соответствующие присвоению <tex>true</tex> или <tex>false</tex> данной переменной. Присвоение <tex>true</tex> соответствует покрытию, содержащему все "внешние" ребра, присвоение <tex>false</tex> соответствует покрытию, включающему ребра-петли и ребро <tex>``false"</tex>. Каждое внешнее ребро ассоциировано с одним клозом, в котором присутствует данная переменная.

'''Блок клоза'''. Любое покрытие циклами для данного блока не содержит в себе как минимум одно внешнее ребро. И для любого подмножества внешних ребер (за исключением набора из всех ребер) существует  единственное покрытие и его вес равен <tex>1</tex>. Каждое внешнее ребро рассматриваемого клоза ассоциировано с одной переменной, присутствующей в нем.

'''Блок XOR'''. Цель данного блока - убедиться, что для произвольной пары ребер <tex>uu'</tex> и <tex>vv'</tex> ровно одно из них присутствует в любом из покрытий циклами, учитывающемся в итоговой сумме.  Представим, что мы заменяем пару ребер <tex>uu'</tex> и <tex>vv'</tex> в некотором графе <tex>G</tex> на блок XOR. Каждый цикл в <tex>G</tex> веса <tex>w</tex>, проходящий через ровно одно из ребер <tex>uu'</tex> и <tex>vv'</tex>, превращается в набор циклов в графе <tex>G'</tex> общим весом <tex>4w</tex>: вклад дает набор циклов, которые заходят в блок через <tex>u</tex> и выходят через <tex>u'</tex> или заходят через <tex>v</tex> и выходят через <tex>v'</tex>, вес остальных циклов в сумме равняется <tex>0</tex> и при дальнейшем подсчете мы можем их не учитывать. Блок XOR'a соединяет блоки переменных с соответствующими блоками клозов так, чтобы вклад в общую сумму вносили только те циклы, которые соответствуют удовлетворяющим назначениям нашей формулы. 

Рассмотрим клоз и переменную внутри него. Рассмотрим внешние ребра соответствующих блоков и соединим их при помощи XOR-блока. Теперь если при построении цикла мы не проходим через внешнее ребро клоза, то мы гарантированно проходим по внешнему ребру переменной, что аналогично присвоению переменной значения <tex>true</tex>. Так как хотя бы одно ребро в каждом блоке клоза будет пропущено, то каждый цикл, который мы учитываем соответствует удовлетворяющему назначению формулы в 3-КНФ. А для каждого удовлетворяющего назначения существует множество циклов суммарным весом <tex>4^{3m}</tex>, так как они проходят через блоки XOR ровно <tex>3m</tex> раз. Таким образом <tex>perm(G') = 4^{3m}\cdot\#\phi</tex>.

Теперь сведем полученную матрицу к <tex>0,1-</tex>матрице. Для начала изменим веса ребер так, чтобы они были равны <tex>\pm1</tex>. Заметим, что замена ребра веса <tex>k</tex> на <tex>k</tex> параллельных ребер веса <tex>1</tex> не меняет перманента матрицы. В графе не допускаются параллельные ребра, но мы можем сделать их допустимыми, если разобьем каждое из них на два, добавив новые вершины. Чтобы избавиться от ребер с отрицательным весом, заметим, что перманент графа <tex>G</tex> с весами ребер равными <tex>\pm1</tex> равен числу из отрезка <tex>[-n!, \, n!]</tex> и может быть вычислен как <tex>y = x \,  ( mod \, 2^{m+1})</tex>, где <tex>m</tex> достаточно большое (например, <tex>m = n^2</tex>. Для того, чтобы вычислить <tex>y</tex>, достаточно посчитать перманент матрицы смежности графа, где все ребра веса <tex>-1</tex> заменены на ребра веса <tex>2^m</tex>. Эти ребра могут быть заменены на <tex>m</tex> ребер весом <tex>2</tex>, которые можно разбить на двойки параллельных ребер весом <tex>+1</tex>, как на предыдущем шаге.

Таким образом для данной нам формулы мы за полиномиальное время построили соответствующий граф <tex>G'</tex> такой, что <tex>perm(A') = 4^m\cdot(\#\phi)</tex>, где <tex>A'</tex> - матрица смежности графа <tex>G'</tex> и свели задачу <tex>\#3SAT</tex> к задаче <tex>perm</tex>. Значит задача <tex>perm</tex> является <tex>\#P-</tex>полной.
}}

===Замечание===

Задача вычисления перманента матрицы, элементы которой принадлежат множеству <tex>\{0,1\}</tex> может быть сведена к задаче подсчета числа совершенных паросочетаний в двудольном графе <tex>G</tex>. Тогда <tex>\prod\limits^n_{i =1}A_{i\sigma(i)} = 1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\sigma</tex> является совершенным паросочетанием. В таком случае, <tex>perm(A)</tex> равен числу совершенных паросочетаний в графе <tex>G</tex>. А значит задача подсчета числа совершенных паросочетаний в двудольном графе эквивалентна задаче вычисления перманента <tex>\{0,1\}-</tex>матрицы и также является <tex>\#P-</tex>полной.

==Источники==
*[http://theory.cs.princeton.edu/complexity/book.pdf Christos H. Papadimitriou. Computational Complexity. c. 172-179]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Counting_problem_(complexity) Counting problem]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Sharp-P Sharp-P ]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Sharp-P-complete Sharp-P-complete]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Sharp-P-completeness_of_01-permanent Sharp-P-completeness of 01-permanent]
*[https://shaih.github.io/pubs/01perm.pdf Zero One Permanent is  #P-Complete,  A Simpler Proof]


== См. также ==
*[[Класс P]]
*[[Классы NP, coNP, Σ₁, Π₁]]
*[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи]]

[[Категория:Классы сложности]]