Просмотр исходного текста страницы Мера на полукольце множеств

[[Полукольца и алгебры|<<]] [[Внешняя мера|>>]]

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:

# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>.
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность).

}}

Примеры мер:

* <tex> \mathcal R = 2^X, m(\varnothing) = 0, m(A) = +\infty </tex> (патологический)
* <tex> X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_n </tex> — сходящийся положительный ряд,  <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>, для <tex> A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\ldots\} </tex> (множество может быть конечным) полагаем <tex> m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k </tex>
* Для полукольца ячеек примером меры является <tex> m(A) = b - a </tex>, где <tex> A = [a; b) </tex> — длина ячейки. То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.

Выведем два важных свойства меры на полукольце:

{{Лемма
|statement=
Пусть  <tex> m </tex> — мера на полукольце  <tex> \mathcal R </tex>, тогда:

1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex>, выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>.

2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность'').

''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотонностью'' меры.

|proof=
1)

Пусть <tex> A \setminus\bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n = \bigcup\limits_{p} D_p </tex> (дизъюнктны), тогда <tex> A = \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \cup \bigcup\limits_{p} D_p  </tex>.

По сигма-аддитивности меры, <tex> m(A) = \sum\limits_{n = 1}^{N} m(A_n) + \sum\limits_{p} m(D_p) </tex>.

Так как второе слагаемое неотрицательно, то <tex> m(A) \ge \sum\limits_{n = 1}^{N} m(A_n) </tex>. Устремляя <tex> N </tex> к бесконечности, получаем требуемое.

2)

Так как <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, то <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex> (дизъюнктны), отсюда по сигма-аддитивности меры <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>.

Разобьем множества <tex> B_p </tex> на группы, так чтобы в группе с номером <tex> n </tex> были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством <tex> A_n </tex>. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой <tex> A_n </tex>, поэтому получаем <tex> m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) </tex>.
}}

[[Полукольца и алгебры|<<]] [[Внешняя мера|>>]]

[[Категория:Математический анализ 2 курс]]