Просмотр исходного текста страницы Метрический классификатор и метод ближайших соседей

'''Метрический классификатор''' (англ. similarity-based classifier) {{---}} алгоритм классификации, основанный на вычислении оценок сходства между объектами.

Для формализации понятия сходства вводится функция расстояния между объектами <tex>\rho(x,x')</tex>. Как правило, не требуется, чтобы были выполнены все три аксиомы метрики {{---}} неравенство треугольника может нарушаться.

'''Метод ближайших соседей''' {{---}} простейший метрический классификатор, основанный на оценивании сходства объектов. Классифицируемый объект относится к тому классу, которому принадлежат ближайшие к нему объекты обучающей выборки.

'''Метод <tex>k</tex> ближайших соседей''' (англ. kNN {{---}} <tex>k</tex> Nearest Neighbours) {{---}} Для повышения надёжности классификации объект относится к тому классу, которому принадлежит большинство из его соседей {{---}} <tex>k</tex> ближайших к нему объектов обучающей выборки <tex>x_i</tex>. В задачах с двумя классами число соседей берут нечётным, чтобы не возникало ситуаций неоднозначности, когда одинаковое число соседей принадлежат разным классам.

'''Метод взвешенных ближайших соседей''' {{---}} в задачах с числом классов 3 и более нечётность уже не помогает и ситуации неоднозначности всё равно могут возникать. Тогда <tex>i</tex>-му соседу приписывается вес <tex>w_i</tex>, как правило, убывающий с ростом ранга соседа <tex>i</tex>. Объект относится к тому классу, который набирает больший суммарный вес среди <tex>k</tex> ближайших соседей.

== Описание алгоритма ==
Пусть задана обучающая выборка пар "объект-ответ" <tex>X^m = \{(x_1,y_1),\dots,(x_m,y_m)\}.</tex>

Пусть на множестве объектов задана функция расстояния <tex>\rho(x,x')</tex>. Эта функция должна быть достаточно адекватной моделью сходства объектов. Чем больше значение этой функции, тем менее схожими являются два объекта <tex>x, x'</tex>.

Для произвольного объекта <tex>u</tex> расположим объекты обучающей выборки <tex>x_i</tex> в порядке возрастания расстояний до <tex>u</tex>:

<tex>\rho(u,x_{1; u}) \leq  \rho(u,x_{2; u}) \leq \cdots \leq \rho(u,x_{m; u})</tex>,
где через <tex>x_{i; u}</tex> обозначается тот объект обучающей выборки, который является <tex>i</tex>-м соседом объекта <tex>u</tex>. Аналогичное обозначение введём и для ответа на <tex>i</tex>-м соседе: <tex>y_{i; u}</tex>. Таким образом, произвольный объект <tex>u</tex> порождает свою перенумерацию выборки. В наиболее общем виде алгоритм ближайших соседей есть:
<tex>a(u) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ y_{i; u}=y \bigr] w(i,u)</tex>,

где <tex>w(i,u)</tex> {{---}} заданная весовая функция, которая оценивает степень важности <tex>i</tex>-го соседа для классификации объекта <tex>u</tex>. Естественно полагать, что эта функция не отрицательна и не возрастает по <tex>i</tex> (поскольку чем дальше объект, тем меньший вклад он должен вносить в пользу своего класса).

По-разному задавая весовую функцию, можно получать различные варианты метода ближайших соседей.

<tex>w(i,u) = [i=1]</tex> {{---}} простейший метод ближайшего соседа;

<tex>w(i,u) = [i\leq k]</tex> {{---}} метод <tex>k</tex> ближайших соседей;

<tex>w(i,u) = [i\leq k] q^i</tex> {{---}} метод <tex>k</tex> экспоненциально взвешенных ближайших соседей, где предполагается константа <tex>q < 1</tex>;

[[Файл:SimpleKnnExample.png|frame|none|super|upright=1|Пример классификации, методом 5 ближайших соседей]]

== Использование ядер сглаживания ==
При использовании линейной функции в качестве <tex>w(i, u)</tex> возможно совпадение суммарного веса для нескольких классов. Это приводит к неоднозначности ответа при классификации. Чтобы такого не происходило, используют функцию [[Ядра]]<sup>[на 28.01.18 не создан]</sup>.

Будем обозначать функцию ядра <tex>K(r)</tex>.

=== Примеры ядер ===

Triangular: <tex>{\displaystyle K(r)=(1-|r|)}</tex>,

Parabolic: <tex>{\displaystyle K(r)={\frac {3}{4}}(1-r^{2})}</tex>,

Tricube: <tex>{\displaystyle K(r)={\frac {70}{81}}(1-{\left|r\right|}^{3})^{3}}</tex>.

=== Метод парзеновского окна ===

Алгоритм <tex>k</tex> ближайших соседей можно обобщить с помощью функции ядра. Рассмотрим два способа, которыми это можно сделать.

<tex>w(i,u) = K\biggl(\frac{\rho(u,x_{i; u})}{h}\biggr)</tex> {{---}} метод парзеновского окна фиксированной ширины <tex>h</tex>;

<tex>w(i,u) = K\biggl(\frac{\rho(u,x_{i; u})}{\rho(u,x_{k+1; u})}\biggr)</tex> {{---}} метод парзеновского окна переменной ширины;

Сравним два этих метода. Сперва запишем классификаторы, полученные при использовании этих методов, в явном виде:

Фиксированной ширины: <tex>a_h = a(u, X^m, \boldsymbol{h}, K) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ y_{i; u}=y \bigr] K\biggl(\frac{\rho(u,x_{i; u})}{h}\biggr)</tex>,

Переменной ширины: <tex>a_k = a(u, X^m, \boldsymbol{k}, K) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ y_{i; u}=y \bigr] K\biggl(\frac{\rho(u,x_{i; u})}{\rho(u,x_{k+1; u})}\biggr)</tex>.

<tex>a_h</tex> не будет учитывать соседей на расстояние больше чем <tex>h</tex>, а всех остальных учтет в соответствии с функций ядра <tex>K</tex>. 
<tex>a_k</tex> является аналогом метода <tex>k</tex> ближайших соседей (т.к. для всех <tex>k+i</tex>-ых соседей функция <tex>K</tex> вернет 0), но при этом чем ближе <tex>k-i</tex>-ый сосед, тем больший вклад в сторону своего класса он даст.

Часто используют окно переменной ширины т.е. классификатор <tex>a_k</tex>, по следующим причинам:

# Удобнее оптимизировать целочисленный параметр <tex>k</tex>, чем вещественный параметр <tex>h</tex> по некоторой сетке;

# Существует большое количество задач, где точки разбросаны неравномерно. В них могут существовать области, где достаточно брать небольшую <tex>h</tex> и области, где в окно ширины <tex>h</tex> попадает только одна точка. Тогда для классификатора <tex>a_h</tex> будут существовать области в которых не будет ни одного объекта (кроме того, который нужно классифицировать). Для таких областей не понятно как классифицировать объекты. 

[[Файл:KnnExample.png|frame|none|super|upright=1|Пример классификации, методом с постоянной шириной окна, и неравномерным разбросом точек]]

== Использование различных метрик расстояния ==
Очень редко известна хорошая функция расстояния <tex>\rho(x,x')</tex>. В качестве нее обычно использую следующие функции:

=== Примеры метрик ===
Пусть <tex>x</tex>, <tex>y</tex> {{---}} объекты, а <tex>(x_1, x_2,..., x_n)</tex>, <tex>(y_1, y_2,..., y_n)</tex> их признаковые описания.

Евклидова метрика: <tex>\rho(x,y) = \sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}</tex>,

Расстояние Чебышёва: <tex>\rho(x,y)=\max _{i=1,\dots ,n}|x_{i}-y_{i}|</tex>,

Манхэттенское Расстояние: <tex>\rho(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|</tex>.


При их использовании важно нормировать значения признаков, иначе один признак с максимальным значением может стать преобладающим, а признаки с маленькими значениями не будут учитываться при классификации. Чтобы отсеять лишние признаки (т.е. не влияющие на класс объекта) можно использовать [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 feature selection].

== Пример использования (через scikit-learn) ==

Рассмотрим использование алгоритма <tex>kNN</tex> на примере [https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Breast+Cancer+Wisconsin+%28Diagnostic%29 реального набора данных].
Предположим, что мы загрузили <tex>wdbc.data</tex> и сохранили как <tex>tr.csv</tex> с заголовком {{---}} описанием признаков.

* Загружаем данные

  '''import''' pandas '''as''' pd    
  '''from''' sklearn.preprocessing '''import''' StandardScaler    

  '''def''' load_data(data_path):
      ds = pd.read_csv(data_path, names=["id", "diagnosis", "radius_mean", "texture_mean", "perimeter_mean", "area_mean",
                                       "smoothness_mean", "compactness_mean", "concavity_mean", "concave points_mean",
                                       "symmetry_mean", "fractal_dimension_mean", "radius_se", "texture_se",
                                       "perimeter_se", "area_se", "smoothness_se", "compactness_se", "concavity_se",
                                       "concave points_se", "symmetry_se", "fractal_dimension_se", "radius_worst",
                                       "texture_worst", "perimeter_worst", "area_worst", "smoothness_worst",
                                       "compactness_worst", "concavity_worst", "concave points_worst", "symmetry_worst",
                                       "fractal_dimension_worst"])
      y = ds['diagnosis']
      X = ds.drop('diagnosis', axis=1)
      X = X.drop('id', axis=1)
      i = len(X.columns)
      X = X.drop(X.columns[i - 1], axis=1)
      y.replace(('M', 'B'), (1, 0), inplace=True)
      sc = StandardScaler()
      sc.fit(X)
      X_ans = sc.transform(X)
      return X_ans, y

  X, y = load_data("tr.csv")

 
Теперь <tex>X</tex>, <tex>y</tex> {{---}} нормированные значения признаков и соответствующие им классы.

* Делим данные на тренировочное и тестовое множество:
 '''from''' sklearn.model_selection '''import''' train_test_split

 X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=1234)

* Создаем классификатор:
 '''from''' sklearn.neighbors '''import''' KNeighborsClassifier

 best_model = KNeighborsClassifier(
    '''n_neighbors'''=10, 
    '''weights'''=’distance’,
    '''algorithm'''=’auto’,
    '''leaf_size'''=30,
    '''metric'''=’euclidean’,
    '''metric_params'''=None,
    '''n_jobs'''=4
 )

* Обучаемся:

 best_model.fit(X_train, y_train)
 

* Используем скользящий контроль для поиска лучших параметров (англ. cross validation):
 '''from''' sklearn.model_selection '''import''' GridSearchCV

 model_params = best_model.get_params()
 tuned_params = {}
 for k, v in model_params.items():
     tuned_params[k] = [v]
 tuned_params['n_neighbors'] = range(1, 30)
 clf = GridSearchCV(KNeighborsClassifier(), tuned_params, cv=10, n_jobs=-1)
 clf.fit(X_train, y_train)
 best_params = clf.best_params_

* Оценка классификатора:
 '''from''' sklearn '''import''' metrics

 best_model = KNeighborsClassifier(**best_params)
 best_model.fit(X_train, y_train)
 predicted = best_model.predict(X_test)

* Выводим результат:
 print('Used params:', best_params)
 print('Evaluation:\n', metrics.classification_report(y_test, predicted))

 > '''Used params''': {'metric_params': None, 'metric': 'euclidean', 'weights': 'distance', 'n_neighbors': 9, 'leaf_size': 30, 'n_jobs': 4, 'p': 2, 'algorithm': 'auto'}
   '''Evaluation:'''
                   precision    recall  f1-score   support
               0       0.90      1.00      0.95        69
               1       1.00      0.82      0.90        45
       micro avg       0.93      0.93      0.93       114
       macro avg       0.95      0.91      0.92       114
    weighted avg       0.94      0.93      0.93       114

==Пример на языке Scala==
SBT зависимость:
  libraryDependencies '''+=''' "com.github.haifengl" '''%%''' "smile-scala" '''%''' "1.5.2"
Пример классификации датасета и вычисления F1 меры<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/F1_score F1 мера]</ref> используя smile.classification.knn<ref>[https://haifengl.github.io/smile/classification.html#knn Smile, KNN]</ref>:
  '''import '''smile.classification._
  '''import '''smile.data._
  '''import '''smile.plot._
  '''import '''smile.read
  '''import '''smile.validation.FMeasure

  '''val '''toy: AttributeDataset = read.table("iris.csv", delimiter = ",", response = Some(('''new '''NumericAttribute("class"), 2)))
  '''val '''x: Array[Array['''Double''']] = toy.x()
  '''val '''y: Array['''Int'''] = toy.y().map(_.toInt)
  '''val '''KNN: KNN[Array['''Double''']] = knn(x, y, 3)
  '''val '''predictions: Array['''Int'''] = x.map(KNN.predict)
  '''val '''f1Score = '''new '''FMeasure().measure(predictions, y)
  plot(x, y, KNN)

==Пример на языке Java==
Пример классификации датасета с применением <code>weka.classifiers.lazy.IBk</code><ref>[http://weka.sourceforge.net/doc.stable-3-8/weka/classifiers/lazy/IBk.html/ Weka, KNN]</ref>

<code>Maven</code> зависимость:
  <dependency>
    <groupId>nz.ac.waikato.cms.weka</groupId>
    <artifactId>weka-stable</artifactId>
    <version>3.8.0</version>
  </dependency>

  '''import''' weka.classifiers.Evaluation;
  '''import''' weka.classifiers.lazy.IBk;
  '''import''' weka.core.converters.ConverterUtils;

  <font color="green">// read dataset and build knn-classifier</font>
  '''var''' source  = new ConverterUtils.DataSource("iris.csv");
  '''var''' dataset = source.getDataSet();
  '''var''' ibk     = new IBk();
  ibk.buildClassifier(dataset);
  <font color="green">// test the model</font>
  '''var''' eTest = new Evaluation(dataset);
  eTest.evaluateModel(ibk, dataset);
  <font color="green">// print results summary</font>
  '''var''' strSummary = eTest.toSummaryString();
  System.out.println(strSummary);

== См. также ==
* [[Обзор библиотек для машинного обучения на Python]]
* [[Общие понятия]]
* [[Уменьшение размерности]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80 machinelearning.ru {{---}} Метрический классификатор]
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=KNN machinelearning.ru {{---}} Метод ближайших соседей (kNN)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=l1xGQMowWA4&t=0s&list=PLJOzdkh8T5kp99tGTEFjH_b9zqEQiiBtC&index=3 Лекция "Метрические методы классификации" К.В. Воронцов, курс "Машинное обучение" 2014]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(statistics) Wikipedia {{---}} Kernel (statistics)]
* [https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.neighbors.KNeighborsClassifier.html Документация по scikit-learn]
* [https://www.kaggle.com/jeffbrown/knn-classifier/data Пример по работе с датасетом с kaggle]


[[Категория: Машинное обучение]]
[[Категория: Метрический классификатор]]