Просмотр исходного текста страницы Неравенства Гёльдера, Минковского

== Неравенство Юнга == 

<tex>\ln x</tex> выпукла вверх.
Рассмотрим  <tex>\alpha_k \geq 0</tex>,
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1</tex> и набор
<tex>\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}</tex>.

Применим [[Выпуклые функции#Неравенство Йенсена|неравенство Йенсена]]
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>. Потенцируем.

<tex>e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}</tex>

Запишем сумму логарифмов как логарифм произведения:

<tex>\prod\limits_{k = 1}^n x_k^{\alpha_k} \leq \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>
(неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим). 

При <tex dpi = "150">\alpha_k = \frac1n</tex> получается знакомая формула:

<tex dpi = "150">\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n</tex>

Пусть теперь <tex>n = 2</tex>. Тогда 

<tex>x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \leq \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2, \, \alpha_1+\alpha_2 = 1, \, \alpha_i \geq 0, \, i = \overline{1, 2}</tex>

<tex>u = x_1^{\alpha_1}$, $v = x_2^{\alpha_2}</tex>

<tex>uv \leq \alpha_1 u^{1/\alpha_1} + \alpha_2 v^{1/\alpha_2}</tex>

<tex>p > 1</tex>. 

{{Определение | definition =
Числа <tex>p</tex> и <tex>q</tex> называются сопряженными показателями, если <tex dpi = "150">\frac1p + \frac1q = 1</tex>
}}

<tex dpi = "150">\boxed{uv \leq \frac1p u^p + \frac1q v ^ q}</tex> &mdash; неравенство Юнга.

== Теорема Гёльдера ==

{{Теорема
|about=
Гёльдера
|statement= 
Пусть <tex>a_1, a_2 \ldots a_n, b_1, b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p > 1</tex>, <tex dpi = "150">\frac1p + \frac1q = 1</tex>
Тогда 
<tex>
\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq 
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p}
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q}
</tex>
|proof=
Обозначим <tex>A = \left( \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p}</tex>, <tex>B = \left( \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q}</tex>

По неравенству Юнга 
<tex dpi = "150">
\forall k : \left(\frac{a_k}A\right) \cdot \left(\frac{b_k}B\right) \leq
\frac1p \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \left(\frac{b_k}B\right)^q
</tex>

Сложим по <tex>k = \overline{1, n}</tex>:

<tex dpi = "150">
\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq
\frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q = </tex>
<tex dpi = "150">\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p +  \frac1q \frac1{B^q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q =
\frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B^q = 
1
</tex>

Получили, что <tex dpi = "150">\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \frac{b_k}{B} \leq 1 \Rightarrow 
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq AB</tex>

}}

=== Следствие ===
Полагая <tex>p = q = 2</tex>, для <tex>a_k, b_k > 0</tex> получаем неравенство Коши для сумм:

<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2}\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}  
</tex>

== Теорема Минковского ==

{{Теорема
|about=
Минковского
|statement= 
Пусть снова <tex>a_1; a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p \ge 1</tex>.

Тогда 
<tex>
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p \right)^{1/p} \leq 
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}
</tex>

|proof=
При <tex>p = 1</tex> неравенство тривиально. Пусть тогда <tex>p \ne 1</tex>.

<tex>p > 1: (a_k + b_k)^p = a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + b_k(a_k + b_k)^{p - 1}$, $p - 1 > 0</tex>.

Так как <tex>p > 1</tex>, положим <tex dpi = "150">q = \frac{p}{p - 1}</tex>. Применяем к 
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}</tex> неравенство Гёльдера:

<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^{(p-1)q\,=\,p}\right)^{1/q}
</tex>

Используем аналогичное неравенство для <tex>\sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1}</tex> :

<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p = 
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + \sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
</tex>

<tex>
\leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} \cdot 
	\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q} + 
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} \cdot
	\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q}
</tex>

Сокращая обе части на <tex>\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q}</tex>, окончательно получаем:

<tex>
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1 - \frac1q} =
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + 
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} 
</tex>

}}

=== Следствие ===

Неравенство Коши для сумм:

<tex>
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^2} \leq
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} + 
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
</tex>

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]