Просмотр исходного текста страницы Определение интеграла Римана, простейшие свойства

{{Определение
|definition=
Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex> \tau : a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b </tex> (<tex>\tau</tex> называется ''разбиением'' отрезка <tex>\left [ a,b \right ]</tex>).
}}

{{Определение
|definition=
<tex>\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> длина текущего отрезка разбиения.
}}

{{Определение
|definition=
<tex>\operatorname{rang} \tau = \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\overline{x_k}</tex> {{---}} произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>f</tex> {{---}} функция, заданная на отрезке <tex>[a; b]</tex>, <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>.

Тогда <tex>\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex>
(также обозначается как <tex>\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex>\sigma \left ( \tau \right )</tex>)
<tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex>
называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>.
}}

<tex>I= \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )</tex> <tex>\stackrel{\mathrm{def}}{\iff} </tex> <tex>\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau : \operatorname{rang} \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon</tex>

{{Определение
|definition=
Определённым интегралом Римана [[Отображения|функции]] <tex>f</tex> называется [[Предел последовательности|предел]] её интегральных сумм, коротко записывается как <tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f</tex>
}}

Факт существования интеграла функции <tex>f</tex> обозначается как <tex>f \in \mathcal{R}\left ( a,b \right )</tex>

{{Утверждение
|id= utv1
|statement=
Если <tex>f \in \mathcal R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} ограничена.
|proof=
Пусть <tex>\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1</tex>.
Делим <tex>\left [ a, b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex>\frac{b-a}{n}<\delta </tex> и фиксируем такое разбиение.
Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>
и варьируем <tex>\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно;
для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.
<tex>I-1-\sum\limits_{k=0, k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}<f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}<I+1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot \Delta_{k}</tex>.
Разделим на <tex> \Delta_{k_0}: \left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}</tex> на <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>.
Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.
}}

[[Категория: Математический анализ 1 курс]]