Просмотр исходного текста страницы Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор. Задача о перпендикуляре

__TOC__ 
==Ортогональная сумма подпространств==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>L - </tex> подпространство унитарного линейного пространства <tex>E</tex>, тогда говорят, что <tex>x \bot L </tex>, если <tex>x \bot \forall y \in L </tex>
}}

{{Определение
|definition=
Подпространство <tex>M=\{</tex> все <tex>x \in E: \ x \bot L \}</tex> называется ортогональным дополнением к <tex>L</tex> в <tex>E</tex>, обозначается <tex>M=L^ \bot </tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>E=L \dotplus M</tex>
|proof=
'''Шаг 1.''' Рассмотрим <tex>\{e_1, e_2...e_k\}</tex> {{---}} ОРТН базис <tex>L \ (k=dimL)</tex>.

'''Шаг 2.''' Дополним <tex>\{e_i\}_{i=1}^{k}</tex> до базиса <tex>E</tex>, получим <tex>\{e_1, e_2...e_k, x_{k+1}...x_n\} \ (n=dimE)</tex>.

'''Шаг 3.''' Приведем этот набор к ОРТН базису (процесс Грама-Шмидта), в итоге получим <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> {{---}} ОРТН базис, при этом <tex>\{e_i\}_{i=k+1}^{n} \in M</tex> (по определению и построению)

<tex>M=</tex> ло <tex>\{e_{k+1}...e_n\}</tex>, то есть <tex>E=L+M</tex>

'''Шаг 4.''' Докажем, что сумма должна быть прямой.
<tex>\forall x=\sum\limits_{i=1}^{n}\xi^ie_i=\sum\limits_{i=1}^{k}\xi^ie_i+\sum\limits_{i=k+1}^{n}\xi^ie_i=f+g</tex>, где <tex>f \in L, g \in M</tex>

<tex>f,g</tex> {{---}} единственные. Докажем этот факт от противного.

Пусть <tex>x=f+g=f_1+g_1 \Rightarrow f-f_1=g_1-g (*)</tex>. 

<tex>\left\langle (*),f-f_1 \right\rangle: \Vert f-f_1 \Vert^2=\left\langle g_1-g,f-f_1\right\rangle=0</tex> (так как <tex>(g_1-g) \in L, (f-f_1) \in M, L \bot M</tex>) 

<tex>\Rightarrow f-f_1=0 \Rightarrow f=f_1 \Rightarrow g=g_1</tex>, то есть разложение единственное, теорема доказана.
}}


{{Определение
|definition=
Прямая сумма взаимно перпендикулярных пп называется '''ортогональной суммой''', обозначается как <tex>\oplus</tex>.
}}
NB: <tex>E=L \oplus M</tex>

{{Определение
|definition=
Прямая сумма попарно перпендикулярных пп называется их '''ортогональной суммой'''.
}}
<tex> \dotplus \sum\limits_{i=1}^{k} L_i= \oplus \sum\limits_{i=1}^{k}L_i (L_i \bot L_j, i \ne j)</tex>

==Ортогональный проектор==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>E=L \dotplus M</tex>

<tex>\mathcal{P}_{L}^{\Vert M}</tex> называется ортогональным проектором на пп <tex>L</tex> и обозначается <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x</tex>.

<tex>\mathcal{P}_{M}^{\Vert L}</tex> называется ортогональным проектором на пп <tex>M</tex> и обозначается <tex>\mathcal{P}_{M}^{\bot}x</tex>. 
}}

{{Определение
|definition=
<tex>x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x</tex> называется разложением вектора <tex>x</tex> в сумму ортогональной проекции на пп <tex>L</tex> и ортогональной составляющей на пп <tex>M</tex>.
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>\{e_i\}_{i=1}^{k}</tex> {{---}} ОРТН базис <tex>L \ (dimL=k)</tex> тогда <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i. </tex>

|proof=
Без ограничения общности рассмотрим <tex>\{e_1..e_k, e_{k+1}..e_n\}</tex> {{---}} ОРТН базис <tex>E</tex>, где <tex>\{e_i\}_{i=1}^{k}</tex> {{---}} ОРТН базис <tex>L</tex>, a <tex>\{e_i\}_{i=k+1}^{n}</tex> {{---}} ОРТН базис <tex>M</tex> (на остальные вектора распространим по линейности)

'''Шаг 1.''' Рассмотрим <tex>e_j \ (j=1..k): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_j= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle e_j,e_i\right\rangle e_i=\left\langle e_j,e_j\right\rangle e_j=e_j \Rightarrow \forall x \in L: \mathcal{P}_{L}^{\bot}x=x</tex>

'''Шаг 2.''' Рассмотрим <tex>e_s \ (s=k+1..n): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_s= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle e_s,e_i\right\rangle e_i=0 \Rightarrow \forall y \in M: \mathcal{P}_{L}^{\bot}y=0 </tex>
}}

{{Лемма
|statement=
<tex> \Vert \mathcal{P}_{L}^{\bot} x \Vert \leqslant \Vert x \Vert, \ \Vert \mathcal{P}_{M}^{\bot} x \Vert \leqslant \Vert x \Vert. </tex> 
|proof=
по теореме Пифагора <tex> \Vert x \Vert^2 = \Vert \mathcal{P}_{L}^{\bot} x\Vert^2 + \Vert \mathcal{P}_{M}^{\bot} x \Vert^2. </tex> 
Отсюда напрямую следует утверждение леммы.
}}

==Задача о перпендикуляре==
{{Определение
|definition=
Задачей о перпендикуляре называется задача отыскания ортогональной составляющей и проекции вектора <tex>x</tex>, то есть его разложения по формуле: <tex>x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x</tex><br>
(где <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x</tex> {{---}} ортогональный проектор на пп <tex>L</tex>, <tex>L</tex> {{---}} пп унитарного пространства <tex>E</tex>, a <tex>\mathcal{P}_{M}^{\bot}x</tex> {{---}} ортогональный проектор на пп <tex>M</tex>, <tex>M</tex> {{---}} ортогональное дополнение <tex>E</tex>).
}}

===Способ 1(через ОРТН базис)===
{{Утверждение
|statement=
1) Найти <tex>\{e_i\}_{i=1}^{k}</tex> {{---}} ОРТН базис <tex>L</tex> <br>
2) <tex> \mathcal{P}_{L}^{\bot}x = \sum\limits_{i=1}^{k} \left\langle x,e_i \right\rangle e_i; \ \mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. </tex>
|proof=
}}

===Способ 2 (через систему уравнений)===
{{Утверждение
|statement=
Рассмотрим <tex>\{a_1, a_2...a_k\}</tex> {{---}} базис <tex>L</tex> (не ОРТН)<br>

<tex>x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x=\gamma^1a_1 + \gamma^2a_2+...+\gamma^ka_k+\mathcal{P}_{M}^{\bot}x \ (*)</tex><br>
<tex>
\begin{cases}
\left\langle a_1,(*) \right\rangle: \left\langle a_1,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_1,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_1,a_k \right\rangle \\
\left\langle a_2,(*) \right\rangle: \left\langle a_2,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_2,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_2,a_k \right\rangle \\
\cdot \\
\cdot \\
\left\langle a_k,(*) \right\rangle: \left\langle a_k,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_k,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_k,a_k \right\rangle
\end{cases}
</tex> <br>
Решая эту систему уравнений для неизвестных <tex>\overline{\gamma_i}</tex>, находим коэффициенты разложения <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x</tex>.
<tex>\mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. </tex>
}}

==Матрица Грама==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\{e_1..e_k\}</tex> {{---}} результат ортогонализации по Граму-Шмидту набора <tex>\{a_1..a_k\}</tex>, тогда <tex>G(a_1..a_k)=\Vert e_1 \Vert^2 \cdot \Vert e_2 \Vert^2 \cdot...\cdot \Vert e_k \Vert^2</tex> называется '''определителем Грама''' соответствующего набора векторов <tex>\{a_i\}_{i=1}^{k}</tex>.
}}

<math dpi = "145">G(a_1..a_k)= det\begin{pmatrix} 
{\left\langle a_1,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_1,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_1,a_k \right\rangle} \\
{\left\langle a_2,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_2,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_2,a_k \right\rangle} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\left\langle a_k,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_k,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_k,a_k \right\rangle} \\
\end{pmatrix}</math>

{{Утверждение
|statement=
<tex>0 \leqslant G(a_1..a_k) \leqslant \Vert a_1 \Vert^2 \cdot \Vert a_2 \Vert^2 \cdot...\cdot \Vert a_k \Vert^2</tex>
}}

{{Утверждение
|statement=
<tex>G(a_1..a_k)=0 \Leftrightarrow \{a_1,a_2...a_k\}</tex> {{---}} ЛЗ.
}}