Просмотр исходного текста страницы О замене переменной в интеграле многих переменных

Как обычно, будем рассматривать функцию двух переменных.

[Тут какое-то невнятно написанное предложение про мотивацию]

Площадь сектора <tex>S = \frac12R^2\alpha</tex>. Пусть эта формула нам известна. (рис 1)

КАРТИНКА КАРТИНКА[Окружности радиуса <tex> r </tex> и <tex> r + \Delta r </tex> с общим центром. Также нарисован угол <tex> \Delta \alpha </tex>, площать <tex> \Delta S </tex> - площадь сегмента, окраниченного двумя окружностями и углом.] 

<tex>\Delta \alpha</tex>, <tex>\Delta r \approx 0</tex>

<tex>\Delta S = \frac12(r + \Delta r)^2\Delta \alpha - \frac12r^2\Delta \alpha</tex> 
<tex>=\frac12\Delta\alpha(2r + \Delta r) \Delta r</tex> 
<tex>=r\Delta\alpha \Delta r + \frac12\Delta \alpha(\Delta r)^2</tex>

<tex>\frac{\Delta S}{\Delta\alpha\Delta r} = r + \frac12\Delta r</tex>

<tex>\Delta \alpha, \Delta r \to 0 \Rightarrow \frac{\Delta S}{\Delta\alpha \Delta r} \to r</tex>

Или, <tex>\Delta S \approx r\Delta\alpha\Delta r</tex>.


Рассмотрим полярные координаты.
<tex>
\begin{cases}
x = r \cos \alpha \\
y = r \sin\alpha  \\
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим линии уровня. <tex>l_r</tex> {{---}} ГМТ, для каждой из которых значение радиуса одно и то же и равно <tex>r</tex>.
Аналогично, <tex>l_\alpha</tex> {{---}} ГМТ, для каждой из которых <tex>\alpha = \mathrm{const}</tex>

Меняя в <tex>l_r</tex> и <tex>l_\alpha</tex> <tex>r</tex> и <tex>\alpha</tex>, покрываем плоскость сетью окружностей и лучей.

[[Файл:Geo_trans_1.png]]

Если на написанную систему соотношений смотреть как на преобразование плоскости и смотреть образы <tex>l_r</tex> и <tex>l_\alpha</tex>,
в силу их определений это будет сеть вертикалей и горизонталей.

Если заштриховать фигуру, границы которой {{---}} эти линии, то её образ будет прямоугольником. При обозначении его площади за <tex>\Delta S</tex> получаем
предел выше. Тогда этот предел {{---}} коэффициент искажения элементарной площади при переходе из одной системы осей в другую.

<tex>T(\alpha, r) = (x = r \cos\alpha, y = r \sin\alpha )</tex>

Прямоугольник <tex>\Delta\alpha\times\Delta r</tex> под действим <tex>T</tex> переходит в <tex>\Delta S</tex>, причём <tex>\frac{\Delta S}{\Delta\alpha\Delta r} \to r</tex>(<tex>\Delta\alpha, \Delta r \to 0</tex>).

Итак, первый этап завершён. Найдена плотность(коэффициент искажения). 

На втором этапе мы заинтегрируем эту плотность и придём к формуле <tex>|E| = \iint\limits_E dxdy = \iint\limits_{E'} rd\alpha dr</tex>, которая будет
базовой формулой для того, что бы научиться заменять переменные в двойных интегралах.

Будем считать, что мы знаем, что если есть <tex>P \in E_P</tex>, <tex>E'_P</tex> {{---}} образ, то
<tex>\frac{E_P}{E'_P} \xrightarrow[\operatorname{diam} E_P \to 0]{} r</tex>, где <tex>P =(x, y) = (\alpha, r)</tex>. Это стремление равномерно по положению точки в 
пределах прямоугольника. (рис 5) 

КАРТИНКА[<tex> P \in E_P </tex> преобразованием T переходит в <tex> P' \in E_P' </tex>] 

<tex>\forall\varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \operatorname{diam} E_P < \delta \Rightarrow \left|\frac{|E_p|}{|E'_P|} - r \right| < \varepsilon, \forall P \subset \Pi</tex>


Рассмотрим квадрируемую фигуру <tex>E</tex>. <tex>E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j</tex>;
<tex>E_i \cap E_j = \varnothing,  \forall i \ne j</tex>; 
<tex>|E| = \sum\limits_{j = 1}^p |E_j|</tex>

<tex>|E_j| = r_j|E'_j| + \alpha_j |E'_j|</tex>, где <tex>\alpha_j</tex> {{---}} бесконечно малое.

<tex>|E| = \sum\limits_{j = 1}^p r_j |E'_j| + \sum\limits_{j = 1}^p \alpha_j |E'_j|</tex>

По равномерной непрерывности, при <tex>\operatorname{diam} E'_j < \delta</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^p\alpha_j|E'_j| \leq \varepsilon\sum\limits_{j = 1}^p|E'_j|</tex>.

Тогда первое слагаемое {{---}} интегральная сумма, а второе стремится к нулю. Тогда

<tex>|E| = \iint\limits_{E'}rd\alpha dr + 0 = \iint\limits_{E'} rd\alpha dr</tex>

Пример.
КАРТИНКА[Круг под действием преобразования переходит в прямоугольник.]

Плошадь круга. <tex>|E| = \iint\limits_\Pi r d\alpha dr</tex> <tex>= \int\limits_0^{2\pi} d\alpha \int\limits_0^R r dr</tex> <tex>=\pi r^2</tex>

=== Общий случай ===
<wikitex>
Пусть 
$\begin{cases}
x & = x(u, v)\\
y & = y(u, v)\\
\end{cases}$;

где $(x, y)$ {{---}} прямоугольные координаты, $(u, v)$ {{---}} криволинейные.

$l_u$, $l_v$ {{---}} линии уровня(координатные линии) в $OXY$.

КАРТИНКА КАРТИНКА[Кривые линии уровня и переход их под действием преобразования в стандартные линии уровня для плоскости.]

Рассмотрим элементарную клетку получвшейся криволинейной сети.

КАРТИНКА КАРТИНКА[в безобразии из предыдущей пары картинок рассматриваем элементарную клетку $E_{uv}$, зажатую между соседними линиями]

В $OXY$ элементарная клетка {{---}} прямоугольник.

<tex dpi =150>\frac{|E_{uv}|}{|E'_{uv}|} = \frac{|E_{uv}|}{\Delta u\Delta v}</tex>

Соединим отрезками вершины клетки, получим четырёхугольник, который примерно параллелограмм, и вычислим его площадь.

Можно действовать по-другому: построить касательные к линиям уровня в точках пересечения, нормировать их, получить паралелограмм и считать его площадь.

Эти попытки связаны с тем, что хочется понять, что в общем случае будет аналогом коэффициентом <tex>r</tex> в полярных координатах.

<tex> K_u</tex> - касательные.

$\overline K_u = (x_v'; y_v')$ {{---}} касательный вектор к линии уровня $l_u$

$\overline K_v = (x_u'; y_u')$ {{---}} касательный вектор к линии уровня $l_v$

$K_u\Delta v, K_v\Delta u$ - элементарные приращения, приблизительно образующие $E_{uv}$. Построим на них параллелограмм, его площадь:

$P(u, v) = \begin{pmatrix}
x_u' & y_u' \\
x_v' & y_v' \\
\end{pmatrix}
$

$J(u, v) = det(P(u, v))$;

$ S = |J(u, v)|\Delta u \Delta v$.

Для $p \in E_p$, $\frac{|E_p|}{|E_p'|} \xrightarrow[diam E'_p \rightarrow 0]{}{|J(u, v)|}$, получившийся предел называется якобианом преобразования.

В итоге получаем $|E| = \iint\limits_{E}dxdy = \iint\limits_{E'}|J(u, v)|dudv$

<Сюда можно впилить долгий монолог о сложности понятия площади поверхности>
Собственно вот он:
Анри Картан - плоскость - линейное многообразие(Подход снимает вопрос образа триангуляции)

<tex>S \begin {cases}
x &= x(u, v)\\
y &= y(u, v)\\
z &= z(u, v)\\
\end {cases} </tex>
<tex>(u,v) \in E \subset \mathbb R</tex>
Площадь <tex>S \stackrel{def}= \iint\limits_{E} \sqrt{(\frac{D(x; y)}{D(u;v)})^2+(\frac{D(x; z)}{D(u;v)})^2+(\frac{D(y; z)}{D(u;v)})}^2dudv=</tex>
<tex>=\iint\limits_{E'}|J(u, v)|dudv</tex>; где <tex>\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin {vmatrix}
x_u' & x_v' \\
y_u' & y_v' \\
\end {vmatrix}
</tex>


{{Теорема
|about=
Замена переменных интегрирования в двойном интеграле
|statement=
Пусть дан закон преобразования переменных, 
$\begin{cases}
x & = x(u, v)\\
y & = y(u, v)\\
\end{cases}$; 
$E$ - квадрируемая фигура в $Oxy$, якобиан преобразования определен так же, как и ранее. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb R$. Тогда выполняется $|E| = \iint\limits_{E}f(x, y)dxdy = \iint\limits_{E'}f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv $
|proof=
Если всё делать строго, мы утонем в некоторой дифференицальной геометрии. Будем всё делать нестрого.

Покроем плоскость сетью координатных линий с малыми шагами, в результате $E$ будет разбиваться на части элементарными криволинейными параллелограммами.

Перейдем к образу:

КАРТИНКА КАРТИНКА[переход к образу, все так же, как и для фигуры Е ранее]

Каждая прямоугольная клетка справа является образом элементарного криволинейного параллелограмма слева.

$E$ - квадрируема, значит, сумма площадей параллелограммов(а в образе - прямоугольников) на границе будет сколь угодно малой при устремлении ранга разбиения к нулю. Значит, можно принебречь суммой этих групп слагаемых в соответствующих интегральных суммах.

Рассмотрим кусочек интегральной суммы, $f(p_i)|E_i|$. Как мы ранее установили, $|E_i| = \iint\limits{E_i'}|J(u, v)|dudv$.

Пусть <tex>p_i=(x_i, y_i)</tex>,<tex>p_i'=(u_i,v_i)</tex>, 
<tex>\begin{cases}
x_i & = x_i(u_i, v_i)\\
y_i & = y_i(u_i, v_i)\\
\end{cases}</tex>;
<tex>p_i'</tex>-образ точки <tex>p_i</tex>/
Если писать интегральные суммы для образа, то текущее слагаемоеЖ

$f(x(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i$.

Сравним с 2 слагаемых:

<tex>| f(x_i, y_i)||E_i| -  f(x(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i | =</tex>

<tex>= |f(x_i, y_i)| \iint \limits_{E_i'}|J(u, v)|dudv - |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i | \le</tex>

(так как $\Delta u_i \Delta v_i = \iint\limits_{E_i'}dudv$.)
Преобразование координат гладкое <tex> \Rightarrow </tex><tex>J</tex> - непрерывная функция; всё множество компактно <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> равномерно непрерывна <tex>\Rightarrow </tex>
<tex>rang~ \tau < \delta, \forall E_i' ||J(u, v)|-|J(u_i, v_i)|| \le \varepsilon \Rightarrow </tex>

$\le f(x_i, y_i) \iint\limits_{E_i'} \left| |J(u, v)| - |J(u_i, v_i)| \right|dudv \le$

<tex>\iint \limits_{E_i'}||J(u, v)| - |J(u_i, v_i)||\Delta u_i \Delta v_i | \le</tex>

$\le \varepsilon |E_i'|$

Тогда для интеграла по всей $E$ имеем:

$\left| \sum\limits_{i=1}^n f(p_i)|E_i| -  \sum\limits_{i=1}^n f(x(u_i, v_i), y(u_i, v_i)) |J(u_i, v_i)|\Delta u_i \Delta v_i \right| \le $

$ \le \varepsilon \sum\limits_{i=1}^n |E'_i| = \varepsilon \sum\limits_{i=1}^n |E'| $.

Это выполняется для любого $\varepsilon > 0$, значит в пределе <tex>\iint\limits_{E}f(x, y)dxdy = \iint\limits_{E'}f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv</tex>, а следовательно теорема доказана.
}}

В теории интеграла Лебега будет установлена более общая теорема(Фубини)
</wikitex>

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]