Просмотр исходного текста страницы Периодичность цепных дробей

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\alpha</tex> приведённая [[квадратичная иррациональность]], тогда её [[цепная дробь]] периодична.
|proof=
Число <tex>\alpha</tex> представимо в виде <tex>\frac{a+\sqrt{D}}{c}, a,c,D \in \mathbb{Z}</tex> и <tex>a^2-D\vdots c</tex>. Назовём это видом Х.

Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-q}, q=[\alpha]</tex>. Заметим, что <tex>\alpha_1>1</tex>. Преобразуем: <tex>\alpha_1=\frac{c}{a+\sqrt{D}-qc}=\frac{c(a-qc-\sqrt{D})}{(a-qc)^2-D}</tex>. Заметим, что <tex>(a-qc)^2-D\vdots c</tex>, значит <tex>\alpha_1</tex> представима в виде Х, где <tex>a'=(qc-a), c'=\frac{D-(a-qc)^2}{c}</tex> Докажем, что <tex>\alpha_1</tex> приведённая. <tex>\overline{\alpha_1}=\frac{1}{\overline{\alpha}-[\alpha]}</tex>. Но <tex>\overline{\alpha}\in (-1;0), [\alpha]>1</tex>, значит <tex>\overline{\alpha_1}\in(-1;0)</tex>.

Посмотрим теперь на возможные значения <tex>a</tex> и <tex>c</tex>. <tex>\alpha-\overline{\alpha}=\frac{2\sqrt{D}}{c}</tex>, откуда из возможных значений <tex>\alpha, \overline{\alpha}</tex>, следует <tex>c\in(0;2\sqrt{D})</tex>. Теперь ограничим a. <tex>\alpha+\overline{\alpha}=\frac{2a}{c}</tex>, отсюда <tex>a>0</tex>. <tex>\overline{\alpha}=\frac{a-\sqrt{D}}{c}\Rightarrow a < \sqrt{D}</tex>.

Количество <tex>a,c</tex> конечно, а количество<tex>\alpha_n</tex> неограниченно. Значит в какой-то момент у нас зациклятся <tex>\alpha_n</tex> и цепная дробь станет периодичной.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\alpha</tex> приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь чисто периодична.
|proof=
Докажем аналогичное утверждение <tex>\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}</tex>.

Введём <tex>\beta_i=-\frac{1}{(\overline{\alpha_i})}\in(1;+\infty) \Rightarrow \alpha_i=-\frac{1}{(\overline{\beta_i})}</tex>.

<tex>\alpha_n=a_n+\frac{1}{\alpha_{n+1}}</tex> отсюда <tex>-\frac{1}{(\overline{\beta_n})}=a_n-\overline{\beta_{n+1}}\Rightarrow\overline{\beta_{n+1}}=a_n+\frac{1}{(\overline{\beta_n})}</tex>. Получаем, что <tex>\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}\Rightarrow[\beta_{n+1}]=a_n</tex>

Осталось только записать переходы <tex>\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\beta_n=\beta_m\Rightarrow a_{n-1}=a_{m-1}\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Лагранж
|statement=
Число <tex>\alpha</tex> представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда <tex>\alpha</tex> квадратичная иррациональность.
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex>.

<tex>\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overline{a_k,\cdots a_n}\rangle</tex>, тогда введём <tex>\alpha_k=\langle \overline{a_k,\cdots, a_n}\rangle</tex>. Тогда <tex>\alpha_k=\langle a_k,\cdots, a_n, \overline{\alpha_k} \rangle</tex>. <tex>\alpha_k=\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_{n-1}'}\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_{n-1}')\alpha_k+P_{n-1}'=0</tex> 
Поэтому <tex>\alpha_k</tex> квадратичная иррациональность, так как иррационально и удовлетворяет уравнению с целыми коэффициентами. Аналогично получим, что <tex>\alpha = \frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}</tex>. Поэтому и <tex>\alpha</tex> квадратичная иррациональность.

<tex>\Leftarrow</tex>.

Пусть <tex>a\alpha^2+b\alpha+c=0</tex>. Разложим <tex>\alpha</tex> в цепную дробь и для <tex>\forall k:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}</tex>. Подставим в уравнение и заменим коэффициенты <tex>A_k\alpha_k^2+B_k\alpha_k+C_k=0</tex>. Где <tex>A_k=aP_k^2+bP_kQ_k+cQ_k^2</tex>, <tex>B_k=2aP_kP_{k-1}+bP_{k-1}Q_k+bP_kQ_{k-1}+2cQ_kQ_{k-1}</tex> и <tex>C_k=aP_{k-1}^2+bP_{k-1}Q_{k-1}+cQ_{k-1}^2</tex>. Вычислим и упростим дискриминант и получим: <tex>B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac</tex>.

Ограничим <tex>A_k,B_k,C_k</tex>. По тому, что <tex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|<\frac{1}{Q_k^2}</tex> имеем <tex>\frac{P_k}{Q_k}=\alpha-\frac{\epsilon}{Q_k^2},\epsilon\in(-1;1)</tex>.
Отсюда <tex>\frac{A_k}{Q_k^2}=a(\frac{P_k}{Q_k})^2+b(\frac{P_k}{Q_k})+c=a\alpha^2+b\alpha+c-2a\alpha\frac{\epsilon}{Q_k^2}+a\frac{\epsilon^2}{Q_k^4}-b\frac{\epsilon}{Q_k^2}</tex>. Отсюда <tex>A_k=-2a\alpha\epsilon+a\epsilon-b\epsilon\Rightarrow~|A_k|\leqslant~|2a\alpha|+~|a|+~|b|</tex>. Далее <tex>C_k = A_{k-1}</tex>, значит тоже ограничено. Теперь <tex>B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac</tex> следовательно <tex>B_k^2\leqslant 4~|A_kC_k|+~|b^2-4ac|<4(2~|a\alpha|+~|a|+|b|)^2+~|b^2-4ac|</tex>. То есть коэффициенты ограничены, но <tex>k</tex> принимает бесконечное число значений, значит <tex>\exists i,j:\alpha_i=\alpha_j; i>j</tex> значит цепная дробь периодична.
}}

[[Категория:Теория чисел]]