Просмотр исходного текста страницы Поиск ближайших соседей с помощью иерархического маленького мира

'''Иерархический маленький мир''' (англ. ''Hierarchical Navigable Small World'') {{---}} структура данных, позволяющая эффективно искать <tex>k</tex> почти что ближайших соседей на больших множествах вершин.
Поиск ближайших соседей нужен в задачах [[Общие понятия|классификации]] и [[кластеризация|кластеризации]].

По своей концепции напоминает [[список с пропусками]].

== Применение ==
Представим себе ситуацию:
* У социальной сети есть <tex>10^{11}</tex> пользовательских фотографий с отмеченными лицами на них.
* По новой фотографии требуется быстро узнать кто на ней и предложить пользователю отметить этого человека.

Возможный процесс:
# Обучаем [https://github.com/davidsandberg/facenet FaceNet] выдавать <tex>128</tex>-мерные вектора по изображению лица, такие, что у фотографий одного человека похожие значения векторов.
# Добавляем <tex>10^{11}</tex> векторов в иерархический маленький мир.
# При добавлении новой фотографии, вычисляем соответствующий лицу вектор.
# Ищем <tex>k</tex> его ближайших соседей.
# Классифицируем лицо с использованием [[Метрический классификатор и метод ближайших соседей#Использование ядер сглаживания|ядер сглаживания]].
# Если пользователь подтвердил нашу догадку, добавляем этот вектор в иерархический маленький мир.

==Маленький мир==
[[Файл:SmallWorld_Greedy.png|мини|500px|Жадный поиск ближайшего соседа. 
Чёрные ребра {{---}} короткие связи с соседями в небольшом радиусе <tex>R</tex>, красные рёбра {{---}} длинные связи, созданные по какой-то эвристике, обеспечивающие логарифмическое мат. ожидание длины пути.
[https://www.hse.ru/mirror/pubs/lib/data/access/ram/ticket/30/1551306415713d428dca7fd05f3d108fe8e66042c4/Approximate%20nearest%20neighbor%20algorithm%20based%20on%20navigable%20(Information%20Systems).pdf Оригинал]]]
'''Маленький мир''' (англ. ''Small World'') {{---}} граф, в котором мат. ожидание кратчайшего пути между двумя случайно выбранными вершинами растёт пропорционально <tex>\log{N}</tex>. Но при этом средняя степень вершины мала.

Для маленького мира на точках в Евклидовом пространстве жадный поиск <tex>k</tex> ближайших соседей будет выглядеть так:
 '''knn'''(V, E, request, m, k)''':'''
     W = <tex>\emptyset</tex>  <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font>
     C = <tex>\emptyset</tex>  <font color="green">// Вершины, которые предстоит посетить. </font>
     V = <tex>\emptyset</tex>  <font color="green">// Посещённые вершины. </font>
     '''for''' i = 1 '''to''' m
         C = С <tex>\bigcup</tex> <tex>random_v</tex> v <tex>\in</tex> G
         TN = <tex>\emptyset</tex>  <font color="green">// Ближайшие вершины в этом проходе.</font>
         '''while''' ''true''
             u = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> C, |q - q1| <= |q - q2|} <font color="green">// Ближайшая к q вершина из C. </font>
             C = C <tex>\setminus</tex> u
             '''if''' u дальше чем k-й элемент W
                 '''break'''
             '''for''' e: (u, e) '''in''' G
                 '''if''' e <tex>{\notin}</tex> V
                     C = C <tex>\bigcup</tex> e
                     V = V <tex>\bigcup</tex> e
                     TN = TN <tex>\bigcup</tex> e
         W = W <tex>\bigcup</tex> TN
     '''return''' k ближайших к q вершин из W

Расстояние между вершинами графа может измеряться [[Метрический классификатор и метод ближайших соседей#Использование различных метрик расстояния|различными метриками]]. <br/>
Очевидный недостаток этого алгоритма {{---}} опасность свалиться в локальный минимум, остановившись в каком-то кластере. С увеличением числа <tex>m</tex>, вероятность такого застревания экспоненциально падает.

==Описание структуры==
'''Иерархический Маленький мир''' {{---}} слоистая структура графов. На нулевом слое представлены все <tex>N</tex> вершин из исходной выборки. Вершина, присутствующая на уровне <tex>L</tex> так же присутствует на уровне <tex>L + 1</tex> с вероятностью <tex>P</tex>. Т.е. кол-во слоёв растет как <tex>O(\log N)</tex>. Количество соседей каждой вершины на каждом уровне ограниченно константой, что позволяет делать запросы на добавление и удаление вершины за <tex>O(\log N)</tex>.
{|align="center"
 |-valign="top"
 |[[Файл:HNSW.png|мини|500px|Иерархический маленький мир. [https://arxiv.org/abs/1603.09320 Источник]]]
 |}

==Операции над структурой==

===Поиск ближайших соседей в слое===
Жадно идём по уровню в сторону запроса.   
 '''searchLayer'''(q, ep, ef, layer)''':'''
     <font color="green">// Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос q, входные точки ep, искомое количество ближайших соседей ef, номер слоя layer.</font>
     <font color="green">// Возвращает: ef ближайших соседей q в слое layer.</font>
     W = {ep}  <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font>
     C = {ep}  <font color="green">// Вершины, которые предстоит посетить. </font>
     V = {ep}  <font color="green">// Посещённые вершины. </font>
     '''while''' C != <tex>\emptyset</tex>
         u = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> C, |q - q1| <= |q - q2|} <font color="green">// Ближайшая к q вершина из C. </font>
         f = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> W, |q - q1| >= |q - q2|} <font color="green">// Самая дальняя от q вершина из W. </font>
         '''if''' |u - q| > |f - q|
             '''break''' <font color="green">// Мы в локальном минимуме. </font>
         '''for''' e : (u, e) '''in''' G
             '''if''' e <tex>{\notin}</tex> V
                 V = V <tex>\bigcup</tex> e
                 f = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> W, |q - q1| >= |q - q2|} <font color="green">// Самая дальняя от q вершина из W. </font>
                 '''if''' |e - q| < |f - q| or |W| < ef
                     C = C <tex>\bigcup</tex> e
                     W = W <tex>\bigcup</tex> e
                     if |W| > ef
                         W = W \ f
     '''return''' W

===Поиск ближайших соседей во всей структуре===
[[Файл:HnswSearch.png|мини|500px|Жадный поиск вершины.
[https://arxiv.org/abs/1603.09320 Оригинал]]]
# Идём с верхнего уровня до первого:
## Жадно ищем ближайшую к <tex>q</tex> вершину на текущем уровне.
## Спускаемся в соответствующую соседу вершине на уровень ниже.
# На нулевом уровне жадно ищем <tex>k</tex> ближайших соседей.
 '''knn'''(hnsw, q, k, ef)''':'''
     <font color="green">// Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос q, искомое количество ближайших соседей  k, количество кандидатов при поиске ef. </font>
     <font color="green">// Возвращает: k ближайших соседей q. </font>
     W = <tex>\emptyset</tex>  <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font>
     mL = |hnsw| - 1
     ep = <tex>random_v</tex> v <tex>\in</tex> hnsw[mL]
     '''for''' level = mL to 1
         W = searchLayer(hnsw, q, ep, ef=1, level) <font color="green">// На каждом уровне, кроме нижнего мы ищем всего одну ближайшую вершину. </font>
         ep = W
     W = searchLayer(hnsw, q, ep, ef, lc=0)
     '''return''' k ближайших к q вершин из W

===Вставка элемента===
# Случайным образом выбираем максимальный слой, на котором будет представлена <tex>q</tex>.
# На каждом уровне, где будет представлена <tex>q</tex>, сверху вниз:
## Жадно ищем <tex>m</tex> ближайших к <tex>q</tex> вершин.
## Добавляем связи <tex>q</tex> с ними.
## Удаляем лишние связи у новообразовавшихся соседей.
 '''insert'''(hnsw, q, m, mMax, ef, mL)''':'''
     <font color="green">// Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос на добавление q, желаемое количество связей m, максимальное количество связей вершины </font>
     <font color="green">//       на одном слое mMax, количество кандидатов при поиске ef, коэффициент выбора высоты mL. </font>
     <font color="green">// Возвращает: hnsw с вставленным элементом q. </font>
     W = <tex>\emptyset</tex>  <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font>
     mL = |hnsw| - 1
     ep = <tex>random_v</tex> v <tex>\in</tex> hnsw[mL]
     qL = -ln(rand(eps, 1.0)) * mL <font color="green">// Верхний слой для вершины q. </font>
     '''for''' level = mL to qL + 1
         W = searchLayer(q, ep, ef=1, level)
         ep = W
     '''for''' level = min(mL, qL) to 0
         W = searchLayer(q, ep, ef, level)
         neighbours = M ближайших к q вершин из W
         '''for''' n <tex>\in</tex> neighbours:
             <font color="green">// Добавляем двусторонние связи между n и q. </font>
             hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\bigcup</tex> (n, q)
             hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\bigcup</tex> (q, n)
             
             nNeighbours = {v| (v, n) '''in''' hnsw[level]} <font color="green">// Ищем всех соседей n на уровне level. </font>
             <font color="green">// Убираем лишние связи, если требуется. </font>
             '''if''' nNeighbours.Count() > mMax
                 <font color="green">// Самая дальняя от n вершина, смежняя с ней. </font>
                 v = {q1 | (q2, n) <tex>\in</tex> nNeighbours & <tex>\forall</tex>q2 <tex>\in</tex> hnsw[level], |q - q1| >= |q - q2|}
                 hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\setminus</tex> (n, v)
                 hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\setminus</tex> (v, n)
         ep = W
     '''if''' qL > mL
         '''for''' level = mL to qL
             hnsw.append({q, {}})

== Практическое использование ==
В библиотеке [https://github.com/nmslib/hnswlib Hnswlib] есть реализация иерархического маленького мира. Эта библиотека написана на C++, с биндингами на python.
Пример использования:
 '''import''' hnswlib
 '''import''' numpy '''as''' np
 
 dim = 128
 num_elements = 10000
 
 <font color="green"># Создаём тестовые данные.</font>
 data = np.float32(np.random.random((num_elements, dim)))
 data_labels = np.arange(num_elements)
 
 <font color="green"># Создаём иерархический маленький мир в L2.</font>
 <font color="green"># Возможные метрики {{---}} l2, cosine, ip (L2, косинус угла между векторами, скалярное произведение).</font>
 p = hnswlib.Index(space = 'l2', dim = dim)
 
 <font color="green"># Инициализируем структуру.</font>
 p.init_index(max_elements = num_elements, ef_construction = 200, M = 16)
 
 <font color="green"># Добавляем данные (можно вызывать много раз).</font>
 p.add_items(data, data_labels)
 
 <font color="green"># Настраиваем качество, выставляя ef:</font>
 p.set_ef(50) <font color="green"># ef должно быть > k</font>
 
 <font color="green"># Делаем запрос.</font>
 <font color="green"># k - количество ближайших вершин</font>
 labels, distances = p.knn_query(data, k = 1)

== См. также ==
* [[Общие понятия]]
* [[Метрический классификатор и метод ближайших соседей]]
* [[Список с пропусками]]

== Источники информации ==
* [https://arxiv.org/abs/1603.09320 Yu. A. Malkov, D. A. Yashunin {{---}} Efficient and robust approximate nearest neighbor search using Hierarchical Navigable Small World graphs]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B8%D1%80_%D1%82%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD_(%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84) Википедия {{---}} Мир тесен (граф)]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Small-world_network Wikipedia {{---}} Small-world network]
* [https://github.com/sgjurano/ysda-celebrity-faces Поиск знаменитостей на фотографии с помощью иерархического маленького мира]
* [https://m.habr.com/ru/company/mailru/blog/338360/ Статья от Mail.ru об использовании иерархического маленького мира]

[[Категория: Машинное обучение]]