Просмотр исходного текста страницы Порядок элемента группы

{{Определение
|definition=
'''Порядком''' элемента <tex>a</tex> [[группа|группы]] <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен. 
}}

=== Примеры ===
* Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.
* Порядок элемента <tex>\overline{2}</tex> в группе вычетов по модулю <tex>4</tex> конечен и равен двум, поскольку <tex>2+2 \equiv 0 \pmod 4</tex>.

=== Свойства ===
{{Утверждение
|statement=В [[конечная группа|конечной группе]] у всех элементов конечный порядок.
|proof=
Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex> (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>p</tex>-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа <tex>p</tex>. Порядок разных элементов может быть разным.
}}

=== Примеры ===
* Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/{p\mathbb{Z}}</tex>.
* [[Циклическая группа]] порядка <tex>p^e</tex>.

[[Категория: Теория групп]]