Просмотр исходного текста страницы Протокол Гольдвассера-Сипсера для оценки размера множества

Пусть зафиксировано множество <tex>S</tex>. 

Построим протокол на открытых монетах, обладающий следующими свойствами:
* если <tex>|S|>2K</tex>, то <tex>V</tex> с высокой вероятностью примет слово;
* если <tex>|S|<K</tex>, то <tex>V</tex> с высокой вероятностью не примет слово.

Выберем <tex>k</tex> так, чтобы <tex>2^{k-2} \le 2K \le 2^{k-1}</tex>.
Возьмем <tex>h \in H_{m,k}</tex> (<tex>H_{m,k}</tex> - [[Семейство универсальных попарно независимых хеш-функций|семейство универсальных попарно независимых хеш-функций]]), и <tex>y \in 2^k</tex>. Далее, отправим запрос <tex>P</tex> на получение <tex>s \in S</tex>, такого, что <tex>h(s)=y</tex>, и проверим, верно ли в действительности, что полученный <tex>s \in S</tex>.
Пусть <tex>p=\frac{2K}{2^k}</tex>.
* если <tex>|S|<K</tex> , то <tex>|h(S)| < \frac{p \cdot 2^k}{2} = K \Rightarrow P(V(x) = [x \in L]) \le p/2</tex>, то есть в этом случае <tex>V</tex> ошибется с вероятностью не более <tex>\frac{1}{2}p</tex>;
* если <tex>|S|>2K</tex>, и <tex>|S|<2^{k-1}</tex>, то поступим следующим образом. Мы хотим, чтобы выполнялось: <tex>P_{h,y}(\exists s: h(s)=y) \ge \frac{3}{4} \cdot \frac{|S|}{2K}</tex> . Обозначим как <tex>E_s</tex> событие <tex>h(s)=y</tex>. Рассмотрим <tex>y \in 2^m</tex>. <tex>P_{h}(\exists s: h(s)=y) = P_{h}(y \in \bigcup \limits_{s}h(s))= </tex> <tex> P_{h}(\bigcup \limits_{s}E_s) \ge \sum \limits_{j}P(E_s)-\sum \limits_{s_1 \ne s_2}P(E_{s_1} \bigcap E_{s_2})= \frac{|S|}{2^k}-\frac{1}{2}|S|^{2}\frac{1}{2^{2k}}=|S|\frac{1}{2^k}\left ( 1 - \frac{|S|}{2^{k+1}} \right )</tex>
Заметим, что <tex>|S|\frac{1}{2^k} > p</tex>, а <tex>\frac{|S|}{2^{k+1}} < \frac{1}{4}</tex>. Итак, действительно, <tex>P_{h}(\exists s: h(s)=y) > \frac{3}{4}p</tex>, т.е. в этом случае <tex>V</tex> примет слово с вероятностью <tex>\frac{3}{4}p > \frac{1}{2}p</tex>;
* если <tex>|S|>2^{k-1}</tex>, то <tex>V</tex> примет слово с вероятностью, большей, чем <tex>\frac{3}{4}p</tex>, так как с дальнейшим возрастанием мощности <tex>|S|</tex> вероятность того, что <tex>V</tex> примет слово только возрастет.