Просмотр исходного текста страницы Существенно неоднозначные языки

== Неоднозначные грамматики ==
{{Определение
|id=defambigous
|definition =
'''Неоднозначной грамматикой''' (англ. ''ambiguous grammar'') называется грамматика, в которой можно вывести некоторое слово более чем одним способом (то есть для строки есть более одного [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|дерева разбора]]).
}}
===Пример:===
Рассмотрим грамматику <tex>E \rightarrow E + E | E * E | N</tex> и выводимое слово <tex>N + N * N</tex>. Его можно вывести двумя способами:
 
<tex>E \Rightarrow E + E \Rightarrow E + E * E \Rightarrow N + N * N</tex>
 
<tex>E \Rightarrow E * E \Rightarrow E + E * E \Rightarrow N + N * N</tex>
 
Эта грамматика неоднозначна.

В данном случае мы нашли пример слова из языка (который задается грамматикой), которое имеет более одного вывода, и показали, что грамматика является существенно неоднозначной. Однако в общем случае проверка грамматики на неоднозначность является [[Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики|алгоритмически неразрешимой задачей]].

== Существенно неоднозначные языки ==

{{Определение
|definition =
Язык называется '''существенно неоднозначным''' (англ. ''inherently ambiguous language''), если любая грамматика, порождающая его, является неоднозначной.
}}
===Пример:===

Язык <tex>0^a 1^b 2^c</tex>, где либо <tex>a=b</tex>, либо <tex>b=c</tex>, является существенно неоднозначным.

Докажем, что для любой грамматики <tex>\Gamma</tex>  <tex>\exists n: 0^n 1^n 2^n</tex> имеет хотя бы <tex>2</tex> дерева разбора в грамматике  <tex>\Gamma</tex>.

Возьмем <tex>k</tex> и рассмотрим слово <tex>0^k 1^k 2^{k+k!}</tex>.

Пометим первые <tex>k</tex> нулей, по [[Лемма Огдена|лемме Огдена]] данное слово можно разбить на <tex>5</tex> частей: <tex>0^k1^k2^{k+k!}=uvxyz</tex>.

Понятно, что <tex>v</tex> состоит полностью из нулей, а <tex>y</tex> состоит полностью из единиц, а также длины <tex>v</tex> и <tex>y</tex> равны, так как иначе при накачке мы можем получить слово, не принадлежащее языку.

Пусть <tex>|v|=|y|=t</tex>, тогда возьмём слово <tex>q=uv^{k! / t + 1}xy^{k! / t + 1}z</tex>. По лемме Огдена слово <tex>q</tex> принадлежит языку, а также существует нетерминал <tex>A</tex> такой, что с помощью него можно породить слово <tex>q</tex>, то есть в грамматике можно вывести <tex>uAz</tex>, и из <tex>A</tex> можно вывести <tex>vAy</tex> и <tex>x</tex>. (Заметим, что <tex>q = 0^{k! + k}1^{k! + k}2^{k! + k}</tex>, то есть <tex>n = k! + k</tex>.)

[[Файл:TreeA.png]]

Теперь рассмотрим слово <tex>0^{k+k!} 1^k 2^k</tex>, в котором отмечены все двойки. Аналогичными рассуждениями мы получаем, что слово <tex>q</tex> принадлежит языку, а также существует нетерминал <tex>B</tex> такой, что с помощью него можно породить слово <tex>q</tex>, где <tex>|v|=|y|=p</tex>.

[[Файл:TreeB.png]]

Заметим, что поддеревья, соответствующие <tex>A</tex> и <tex>B</tex> {{---}} разные деревья и одно не является потомком другого, иначе или в поддереве <tex>A</tex> были бы двойки, или в поддереве <tex>B</tex> были бы нули {{---}} что не является правдой.


Пусть в этих двух случаях дерево разбора было одно и тоже, тогда с помощью <tex>A</tex> и  <tex>B</tex> можно породить слово вида <tex>0^{k+k!+t} 1^{k+k!+t+p} 2^{k+k!+p}</tex>, которое не принадлежит языку.

В результате мы имеем два [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|дерева разбора]] для одного слова. Значит, язык существенно неоднозначен.

== См. также ==
* [[Лемма_Огдена|Лемма Огдена]]
* [[Лемма_о_разрастании_для_КС-грамматик|Лемма о разрастании для КС-грамматик]]
* [[Теорема_Парика|Теорема Парика]]

== Источники информации ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритмически_неразрешимая_задача Википедия {{---}} Алгоритмически неразрешимая задача]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Ambiguous_grammar Wikipedia {{---}} Ambiguous grammar]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: Опровержение контекстно-свободности языка]]