Просмотр исходного текста страницы Теорема Бермана — Форчуна

{{Лемма
|about=1
|statement=Язык <tex>L</tex> является <tex>\mathrm{coNP}</tex>-полным тогда и только тогда, когда <tex>\overline L</tex> является <tex>\mathrm{NP}</tex>-полным (то есть <tex>L \in \mathrm{coNP\mbox{-}C} \Leftrightarrow L \in \mathrm{co\mbox{-}NPC}</tex>).
|proof=Пусть <tex>L</tex> {{---}} <tex>\mathrm{coNP}</tex>-полный. Тогда <tex>L \in \mathrm{coNP}</tex> и <tex>\overline L \in \mathrm{NP}</tex>.

Рассмотрим произвольный язык <tex>L_1 \in \mathrm{NP}</tex>. Тогда <tex>\overline {L_1} \in \mathrm{coNP}</tex>. Так как <tex>L</tex> {{---}} <tex>\mathrm{coNP}</tex>-полный, то <tex>\overline {L_1} \le L</tex>, следовательно <tex>L_1 \le \overline L</tex> (по [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи#lemma|лемме]]).

Получили, что <tex>\overline L \in \mathrm{NP}</tex> и <tex>\forall L_1 \in \mathrm{NP} \Rightarrow L_1 \le \overline L</tex>. Значит <tex>\overline L \in \mathrm{NPC}</tex>.
В обратную сторону доказательство аналогично.
}}

{{Определение
|definition=
<tex>\mathrm{TAUT} = \{\phi</tex> {{---}} булева формула <tex>\bigm{|} \forall x = (x_1, x_2, \ldots , x_m) \, \phi(x)=1\}</tex>.
}}

{{Лемма
|about=2
|statement=<tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex>.
|proof=<tex>\overline {\mathrm{TAUT}} = \{\phi \bigm{|} \exists x : \phi(x) \ne 1\} = \{\phi \bigm{|} \overline {\phi} \in \mathrm{SAT}\}</tex>, то есть <tex>\mathrm{SAT} \le \overline {\mathrm{TAUT}} \, (f(\phi) = \overline {\phi})</tex>. Кроме того, <tex>\overline {\mathrm{TAUT}} \in \mathrm{NP}</tex> <tex>(</tex>в качестве сертификата используется <tex>x</tex>, на котором <tex>\phi(x) \ne 1)</tex>. Значит <tex>\overline{\mathrm{TAUT}} \in \mathrm{NPC}</tex>. Тогда по лемме (1) <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex>\mathrm{SPARSE} = \{L \bigm{|} \exists</tex> полином <tex>p: \forall n \, |L \cap \Sigma^n| \le p(n)\}</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=<tex>\mathrm{coNPC} \cap \mathrm{SPARSE} \ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{P} = \mathrm{NP}</tex>.
|author=Берман, Форчун
|proof=Пусть существует <tex>S \in \mathrm{coNPC} \cap \mathrm{SPARSE}</tex>. Разрешим <tex>\mathrm{TAUT}</tex> за полином.

Для начала напишем программу, разрешающую <tex>\mathrm{TAUT}</tex>:
 <tex>check(\phi, i)</tex>:
     '''if''' <tex>\phi=0</tex>
         '''return''' 0
     '''if''' <tex>\phi=1</tex>
         '''return''' 1
     '''if''' <tex>memo[\phi] \ne -1</tex>
         '''return''' <tex>memo[\phi]</tex>
     <tex>memo[\phi] \leftarrow check(\phi|_{x_i=0}, i+1) \wedge check(\phi|_{x_i=1}, i+1)</tex>
     '''return''' <tex>memo[\phi]</tex>     
Ответом будет <tex>check(\phi, 1)</tex>.

Так как <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex> и <tex>S \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{TAUT} \le S</tex>, то есть <tex>\exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : \phi \in \mathrm{TAUT} \Leftrightarrow f(\phi) \in S</tex>. Поэтому, если в предыдущей программе заменить все обращения к <tex>memo[\phi]</tex>, на <tex>memo[f(\phi)]</tex>, то полученная программа по-прежнему будет разрешать <tex>\mathrm{TAUT}</tex>.

Оценим необходимый размер <tex>memo</tex>. Можно считать, что <tex>\mathrm{T}(f, \phi) \le q(n)</tex>, где <tex>n = |\phi|</tex>, а <tex>q</tex> {{---}} монотонно возрастающий полином. Тогда <tex>|f(\phi)| \le q(n)</tex>. Так как <tex>S \in \mathrm{SPARSE}</tex>, то <tex>|S \cap \Sigma^k| \le p(k)</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} полином. Можно считать, что <tex>p</tex> монотонно возрастает. Тогда размер <tex>memo</tex> (число слов длины не более <tex>q(n)</tex> в языке) можно оценить сверху: <tex>memo.size() \le \sum\limits_{i=0}^{q(n)}p(i) \le (1+q(n)) \cdot p(q(n)) \le r(n)</tex>, где <tex>r(n)</tex> {{---}} полином.
 <tex>check(\phi, i)</tex>:
     '''if''' <tex>\phi=0</tex>
         '''exit''' 0
     '''if''' <tex>\phi=1</tex>
         '''return''' 1
     '''if''' <tex>memo[f(\phi)] \ne -1</tex>        //(1)
         '''return''' <tex>memo[f(\phi)]</tex>
     <tex>memo[f(\phi)] \leftarrow check(\phi|_{x_i=0}, i+1) \wedge check(\phi|_{x_i=1}, i+1)</tex>        //(2)
     '''if''' <tex>memo.size() > r(n)</tex>
         '''exit''' <tex>0</tex>
     '''return''' <tex>memo[f(\phi)]</tex>
[[Файл:Berman-Fortune.png|thumb|upright=2.0|Двоичное дерево, получающееся в результате рекурсивных вызовов модифицированной программы. Красным и желтым помечены узлы, в которых происходит обращение к элементу ''memo[j]''. В красных узлах условие ''(1)'' ложно, в желтых {{---}} истинно.]]
Рассмотрим двоичное дерево, получающееся в результате рекурсивных вызовов данной программы.

Рассмотрим произвольный элемент <tex>memo[j]</tex>. Найдем, сколько раз условие <tex>(1)</tex> в ходе выполнения программы является ложным при обращении к элементу <tex>memo[j]</tex>. Найдем в дереве такой узел, в котором есть обращение к <tex>memo[j]</tex>, а в его поддереве обращений к этому элементу нет, причем <tex>memo[j] = -1</tex>. До этого момента количество обращений к <tex>memo[j]</tex> не превышает глубины найденного узла, что не превосходит высоты дерева, что не превосходит некоторого полинома <tex>p'(n)</tex>. После этого момента условие <tex>(1)</tex> будет принимать истинное значение при обращении к <tex>memo[j]</tex>. Значит, в ходе выполнения программы условие <tex>(1)</tex> является ложным при обращении к <tex>memo[j]</tex> не более <tex>p'(n)</tex> раз.

Так как всего в <tex>memo</tex> не более <tex>r(n)</tex> элементов, то суммарно за все время выполнения программы условие <tex>(1)</tex> принимает ложное значение не более <tex>p''(n) = r(n) \cdot p'(n)</tex> раз, то есть <tex>p''</tex> {{---}} полином. Отсюда следует, что присваивание <tex>(2)</tex> выполняется не более <tex>p''(n)</tex> раз, а значит в дереве не более <tex>p''(n)</tex> внутренних вершин. Значит всего в дереве не более <tex>2 \cdot p''(n) + 1</tex> вершин, то есть данная программа работает за полиномиальное время.

Итого, данная программа разрешает <tex>\mathrm{TAUT}</tex> за полиномиальное время. А так как <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{P}=\mathrm{coNP}</tex>, то есть <tex>\mathrm{coP}=\mathrm{coNP}</tex>, откуда <tex>\mathrm{P}=\mathrm{NP}</tex>.
}}

== См. также ==
*[[Класс P]]
*[[Классы NP и Σ₁]]

[[Категория: Теория сложности]]