Просмотр исходного текста страницы Теоретический минимум(2 семестр)

1)
Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>.

2)
Пусть дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex> и <tex> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex> (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму <tex> S </tex> по '''методу Абеля''', если <tex> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>.

3)
<tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).

4)
<tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)
Тогда, если существует такое <tex> M > 0 </tex>, что <tex> \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n </tex>, то <tex> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>.

5)
Пусть на <tex>E</tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>. Тогда он равномерно сходится к
<tex>f = \sum f_n</tex>, если
<tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>

5)
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <tex>\forall n \in \mathbb{N} </tex> , <tex> \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> {{---}} сходится.
Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> равномерно сходится на <tex>E</tex>.

6)
Пусть на множестве <tex>E</tex> заданы функции <tex>f_n</tex>, <tex>a</tex> {{---}} предельная точка этого множества и 
<tex>\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)</tex>. Тогда если <tex>\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n</tex> - равномерно
сходится на <tex>E</tex>, то выполняется равенство :
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)</tex>

8)
Пусть <tex> f_{n} </tex> интегрируема и равномерно сходится к <tex> f </tex> на <tex> [a; b] </tex>. Тогда <tex> f </tex> тоже интегрируема, и
<tex> \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}  = \int\limits_{a}^{b}f </tex>.

9)
Пусть на <tex> (a, b) </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <tex>\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится.
Пусть также <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle</tex> и
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :

<tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.

10)
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> {{---}} сходится. 
Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex> сходится.

11)
<tex>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>.
Пусть есть ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> и <tex>R</tex> {{---}} его радиус сходимости. Тогда
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится.

2) <tex>\forall [a; b] \in (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно.
 
3) <tex>|x| > R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд расходится. 

4) <tex>|x| = R</tex> {{---}} неопределённость. 

12)
Пусть есть <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>, <tex>R</tex> {{---}} его радиус сходимости. Тогда:

1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>.

2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</tex>, то <tex>R = \frac1q</tex>

13)
Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда