Просмотр исходного текста страницы Эквивалентность PCP-теоремы и теоремы о трудности аппроксимации

Классическое доказательство <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы довольно громоздкое и трудное для понимания, однако несложно показать эквивалентность <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи аппроксимации.
==Задача qCSP==
{{Определение
|definition=<tex>qCSP</tex> представляет собой <tex>\varphi</tex> &mdash; набор функций <tex>\varphi_1, \ldots, \varphi_m</tex> из <tex>\{0, 1\}^n</tex> в <tex>\{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i</tex> зависит не больше, чем от <tex>q</tex> заданных параметров. То есть для <tex>\forall i \in [1..m]</tex> существуют <tex>j_1, \ldots, j_q \in [1..n]</tex> и функция <tex>f:\{0, 1\}^q \rightarrow \{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i(u) = f(u_{j_1}, \ldots, u_{j_q})</tex> для любого <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex>.

Говорят, что назначение <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex> удовлетворяет <tex>\varphi_i</tex>, если <tex>\varphi_i(u) = 1</tex>.

<tex>val(\varphi) = \frac{\sum_{i = 1}^{m} \varphi_i(u)}{m}.</tex> Если <tex>val(\varphi) = 1</tex>, то <tex>\varphi</tex> - удовлетворима.
}}

==ρ-GAPqCSP==
{{Определение
|definition=<tex>\rho \in (0, 1)</tex>. Задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP - определить для формулы qCSP &mdash; <tex>\varphi</tex>:
<tex>\bullet</tex> <tex>\varphi</tex> удовлетворима, то "YES".
<tex>\bullet</tex> <tex>val(\varphi) \leq \rho</tex>, то "NO".
}}
==Эквивалентность PCP-теоремы и NP-трудности задачи об аппроксимации==
{{Теорема
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[\log n, O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}

{{Теорема
|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho-GAPqCSP</tex> &mdash; <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудность задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex>.
|proof=
Покажем, что <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная для некоторой константы <tex>q</tex>. Для этого достаточно свести <tex>\mathrm{NP}</tex>-полную задачу, например <tex>3SAT</tex> к <tex>\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> для некоторой константы <tex>q</tex>. Из <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теоремы следует, что для <tex>3SAT</tex> существует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-система, в которой верифаер <tex>V</tex> делает константное число запросов <tex>q</tex> и использует <tex>c \log n</tex> монет для некоторйо константы <tex>c</tex>. Для входа <tex>x</tex> и монет <tex>r</tex> определим <tex>V_{x,r}</tex> как функцию, принимающую на вход доказательство <tex>\pi</tex> и возвращающую <tex>1</tex>, если верифаер <tex>V</tex> принимает доказательство <tex>\pi</tex> на входе <tex>x</tex> с монетами <tex>r</tex>. Заметим, что <tex>V_{x,r}</tex> зависит не больше, чем от <tex>q</tex> позиций. Таким образом для любого <tex>x \in {0,1}^n</tex> набор <tex>\phi=\lbrace V_{x,r}\rbrace_{r \in \lbrace 0,1\rbrace^{c\log n}}</tex> &mdash; экземпляр <tex>qCSP</tex> полиномиального размера. Так как <tex>V</tex> работает за полиномиальное время, преобразование <tex>x</tex> в <tex>\phi</tex> также работает за полиномиальное время. Теперь полнота и обоснованность: если <tex>x \in 3SAT</tex>, то <tex>\phi</tex> удовлетворяет <tex>val(\phi)=1</tex>, а если <tex>x \notin 3SAT</tex> то <tex>\phi</tex> удовлетворяет <tex>val(\phi) \le \frac 1 2</tex>.
}}

{{Лемма
|statement= Из <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> следует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема.
|proof=
Исходя из  <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAPqCSP</tex> для некоторых констант <tex>q, \rho < 1</tex> легко построить <tex>\mathrm{PCP}</tex> систему с <tex>q</tex> запросами к доказательству, обоснованностью <tex>\rho</tex> и использующую логарифмическое число случайных бит. Сначала верифаер <tex>V</tex> запускает сведение <tex>f(x)</tex>, чтобы получить экземпляр задачи <tex>qCSP</tex> <tex>\phi=\lbrace\phi_i\rbrace_{i=1}^{m}</tex>. Будем считать, что доказательство <tex>\pi</tex> это назначение переменных <tex>\phi</tex>. Проверять будем случайно выбирая <tex>i \in [1,m]</tex> и проверяя, удовлетворяется ли <tex>\phi_i</tex> (для этого требуется <tex>q</tex> запросов). Действительно, если <tex>x \in L</tex>, верифаер примет его с вероятностью <tex>1</tex>. Если же <tex>x \notin L</tex>, верифаер примет его с вероятностью не больше <tex>\rho</tex>.  Обоснованность может быть увеличена до <tex>\frac 1 2</tex> за счет увеличения количества завпросов к доказательству и использованных случайных бит в константное количество раз.
}}

Стоит заметить, что <tex>\mathrm{PCP}</tex>-теорема эквивалентна также <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудности задачи <tex>\rho-GAP3SAT</tex>.

==Источники==
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/pcpchap.pdf S.Arora,B.Barak. Computational Complexity: A Modern Approach, 2007]