Просмотр исходного текста страницы PS-полнота задачи Generalized geography

== Формулировка задачи==

[[Файл:Generalized_geography_1.png|thumb|350px| Рис. 1. Граф для игры в города в штате Мичиган]]

Города (Geography) - игра, в которой игроки по очереди называют города со всего мира. Каждый город должен начинаться с той буквы, на которую заканчивается предыдущий, повторы запрещены. Игра начинается с любого города, и заканчивается, когда игрок проигрывает и не может назвать новый город.

=== Графическая модель ===

Для визуализации задачи можно построить ориентированный граф, где каждая вершина - имя города, а ориентированное ребро из А в Б означает, что город Б начинается на ту же букву, на которую заканчивается город А. Ход игрока - переход из текущей вершины в новую, ранее не посещенную, по соответствующему ребру. Проигрывает тот, кто не может сделать ни одного перехода (см. рис. 1).

[[Файл:Generalized_geography_2.png|thumb|350px| Рис. 2. Пример графа для игры в Generalized Geography]]

В игре Generalized Geography (Обобщенные города) мы заменяем граф с городами на некоторый абстрактный ориентированный граф. Игроки по очереди переходят из вершины в вершину, и проигрывает тот, кто не может сделать новый ход (перейти в ранее не посещенную вершину).

Рассмотрим пример (рис. 2). Пусть P1 - игрок, который ходит первым, и  P2 - игрок, который ходит вторым. Игра начинается с первой вершины. Здесь игрок P1 обладает следующей выигрышной стратегией: делает ход в вершину 2, после чего P2 переходит в вершину 4, так как это единственный вариант. Первый игрок ходит в вершину 5, и второй выбирает между вершинами 3 и 7. Но независимо от выбора игрока P2, P1 может перейти в вершину 9, откуда второй игрок никуда не может пойти.

== Утверждение ==

Язык <tex> GG = \{ \langle G, b \rangle | </tex> первый игрок в графе <tex> G </tex>, начиная игру с вершины <tex> b </tex>, обладает выигрышной стратегией <tex> \} </tex> является [[Класс_PS|PS-полным]].

== Доказательство ==
=== Доказательство принадлежности задачи классу PS ===

Чтобы показать, что язык принадлежит классу PS, предъявим алгоритм, работающий на полиномиальной памяти, определяющий, обладает ли игрок выигрышной стратегией находясь в вершине v графа G.

Алгоритм <tex> M ( \langle G, b \rangle ) </tex> :

1. Если из вершины, в которой находится игрок, не ведет ни одного ребра в непосещенные ранее вершины, то вернем FALSE, мы проиграли.

2. Иначе запустим этот же алгоритм от всех вершин, в которые можно пойти, и если везде вернется TRUE, вернем FALSE, куда бы мы ни пошли, второй игрок выиграет. Если же хоть из одной вершины функция вернула FALSE, то вернем TRUE, в этой вершине второй игрок проигрывает. 

Этот алгоритм перебором находит выигрышную стратегию для первого игрока, и очевидно, требует полиномиальную память: на каждом шаге одна или более вершин помечаются как посещенные, и более не обрабатываются.

=== Доказательство принадлежности задачи классу PSH ===

Для доказательства этого факта сведем задачу о выполнимости булевой КНФ-формулы с предваряющими кванторами (эта задача [[Класс_PS|PS-трудная]]) к Generalized Geography за полиномиальное время. Для этого рассмотрим задачу о выполнимости КНФ-формулы с предваряющими кванторами как [[Интерпретация_БФ_с_кванторами_как_игры_для_двух_игроков|игру двух игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex>]].

Если в нашей формуле с предваряющими кванторами последний квантор - не <tex> \exists </tex>, то добавим его, введя дополнительную переменную. Таким образом для игры двух игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> наша формула представима в следующем виде:
<tex> \varphi = \exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 ... \exists x_n ( \psi ) </tex> , где <tex> \psi </tex> - некая КНФ-формула.

[[Файл:Generalized_geography_3.png|thumb|350px| Рис. 3. Модель графа для сведения задачи об игре двух игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> к задаче GG]]

Для любой такой КНФ-формулы с предваряющими кванторами можно построить граф, аналогичный приведенному на рисунке 3. Рассмотрим этот граф, и докажем, что это сведение задачи об игре игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> к задаче Generalized Geography.

Левый столбец в этом графе описывает процедуру выборки игроками <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> значений переменных, если игрок выбирает TRUE, он идет в левую сторону, иначе в правую.

Зафиксировав значения переменных, игрок <tex> \forall </tex> (т.к. в нашей КНФ-формуле с предваряющими кванторами последний квантор <tex> \exists </tex>) выбирает скобку, значение которой должно быть FALSE (тогда он выиграет!). На рисунке каждая скобка - отдельная вершина <tex> c_i </tex>. 

После того, как игрок <tex> \forall </tex> зафиксировал скобку, игрок <tex> \exists </tex> долджен выбрать переменную, значение которой не ноль (игроки уже зафиксировали значения переменных в самом начале) и сделать переход в соответсвующую вершинку. Т.к. значение этой переменной не ноль, то игрок <tex> \forall </tex> не сможет никуда пойти из этой вершины (тогда <tex> \exists </tex> выиграл, первый игрок обладает выигрышной стратегией в игре Generalized Geography). Для этого проведем ребра из каждый скобки <tex> c_i </tex> в вершины-переменные, учавствующие в этой скобке, а от них проведем ребра к вершинам левого столбца, соответсвующим выборам TRUE или FALSE значений переменных.

Таким образом, если игрок <tex> \exists </tex> выигрывает, то автоматически обладает выигрышной стратегией и первый игрок в Generalized Geography. Он знает, какие значения переменных надо выбрать, и в какую вершину пойти в конце. Аналогично, по выигрышной стратегии первого игрока в Generalized Geography можно узнать, какие значения переменных должен выбрать игрок <tex> \exists </tex> для того, чтобы удовлетворить формулу. 

Мы свели задачу об игре игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> к задаче Generalized Geography. Очевидно, сведение будет произведено за полиномиальное время. Значит, язык <tex> GG </tex> является PS-трудным, а так как выше мы доказали его принадлежность классу PS, то и PS-полным.

== Внешние ссылки ==

[http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_geography Generalized Geography в английской википедии. ]