Список заданий по ДМ 2026 осень - История изменений

Admin в 17:36, 17 сентября 2026

2026-09-17T17:36:08Z

Admin: Новая страница: «# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения # Построй…»

2026-09-10T12:40:15Z

Новая страница: «# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения # Построй…»

Новая страница

# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
# Постройте пример отношения, которое не симметрично и не антисимметрично
# Постройте пример отношения, которое симметрично и антисимметрично
# Сколько существует отношений между множеством $A$ размера $n$ и множеством $B$ размера $m$?
# Сколько из отношений на множестве $A$ размера $n$ являются рефлексивными? Симметричными? Антирефлексивными? Антисимметричными?
# Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.
# Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на $A$. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Введем понятие композиции отношений $R$ и $S$ на одном и том же множестве $A$ как отношение $T=RS$, где $xTy$, если найдется $z$, такой что $xRz$ и $zSy$. Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивной их композиция?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричной их композиция?
# Определим $R^{-1}$ следующим образом: если $xRy$, то $yR^{-1}x$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
# Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
# Докажите, что $(RS)^{-1} = S^{-1}R^{-1}$.
# Композицией функций $f : A \to B$ и $g : B \to C$ называется $g \circ f$, что $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Докажите, если $f$ и $g$ инъективны/сюръективны/биективны, то то же свойство верно и для их композиции.
# Отношение $R \subseteq A \times B$ называется функциональным, если $R^{-1} R \subseteq I$. Правда ли, что если $R \subseteq A \times B$ и $S \subseteq B \times C$ функциональны, то $RS \subseteq A \times C$ функционально?
# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $a + d = b + c$ на ${\mathbb N} \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?

← Предыдущая		Версия 17:36, 17 сентября 2026
Строка 19:		Строка 19:
	# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?		# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
	# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?		# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
		+	# СКНФ. Будем называть формулу для функции совершенной конъюнктивной нормальной формой, если ее эта формула является конъюнкцией клозов, каждый из которых представляет дизъюнкцию переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в каждом клозе ровно один раз. Докажите, что любую функцию, кроме тождественной 1, можно представить в виде СКНФ.
		+	# Стрелка Пирcа (NOR) - булева функция $a \downarrow b = \neg (a \vee b)$. Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через стрелку Пирса
		+	# Штрих Шеффера (NAND) - булева функция $a \uparrow b = \neg (a \wedge b)$. Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через штрих Шеффера
		+	# Функция $f$ называется самодвойственной, если $f(\neg x_1, \ldots, \neg x_n) = \neg f(x_1, \ldots, x_n)$. Сколько существует самодвойственных функций от $n$ аргументов?
		+	# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
		+	# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\to y, {\mathbf 0}\}$?
		+	# Медиана $\langle xyz\rangle$, также известная как функция большинства или функция голосования, равна 1, если из трех ее аргументов хотя бы два равны 1. Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{\langle xyz\rangle, \neg x\}$?
		+	# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$?
		+	# Можно ли выразить "и" через "или"?
		+	# Можно ли выразить $\oplus$ через $=$?
		+	# Медиана $2n+1$ булевского значения равна 1 если и только если среди аргументов больше 1. Выразите медиану 5 через медиану 3
		+	# Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
		+	# Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что "и", "или", "не" - пороговые функции.
		+	# Приведите пример непороговой функции. Поясните, почему из предыдущего номера не следует, что любая функция является пороговой.
		+	# Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
		+	# КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
		+	# Расссмотрим функцию $f$, построим ее СДНФ. Заменим в этой формуле все $\vee$ на $\wedge$ и наоборот. Получится СКНФ некоторой функции $g$. Для каких функций $f$ выполнено $f=g$?