Алгоритм цифровой сортировки

В этом алгоритме сортировки числа сортируются по разрядам. Существует два варианта Least Significant Digit (LSD) и Most Significant Digit (MSD). При LSD сортировке, сначала сортируются младшие разряды, затем старшие. При MSD сортировке наоборот.

Алгоритм LSD

Теперь рассмотрим подробно, что же представляет собой этот алгоритм.

Перед сортировкой необходимо определить 2 величины:

1. [math]width[/math] — максимальное количество разрядов в сортируемых величинах.
2. [math]range[/math] — количество возможных значений одного разряда ключа (сортируемого элемента), то есть мощность используемого алфавита.

Сам алгоритм работает следующим образом. Создаются [math]range[/math] вспомогательных списков - корзин, т.е. на каждое возможное значение разряда элемента по корзине.

Первый проход:

Первый этап — распределение по корзинам и на первом проходе элементы исходной последовательности помещаются в эти корзины по их младшему разряду, т.е. по самому правому символу. Какой этот самый младший разряд у элемента, в такую корзину этот элемент и помещается.

Например, пусть имеем исходную последовательность из [math]{11, 24, 9, 59, 21, 98, 76, 8}[/math], для которой определяем [math]width[/math] = 2, [math]range[/math] = 10, поэтому будет 10 корзин: [math]list0, list1..., list9[/math]. Тогда на первом проходе корзины №0, 2, 3, 5, 7 окажутся пусты, а остальные распределят элементы след. образом:

[math]list1: 11, 21[/math]

[math]list4: 24[/math]

[math]list6: 76[/math]

[math]list8: 98, 8[/math]

[math]list9: 9, 59[/math]

Второй этап - сборка: просто последовательно соединяем один за другим все корзины и располагаем элементы уже в этой последовательности:

[math]11, 21 (list1), 24(list4), 76(list6), 98, 8(list8), 9, 59(list9)[/math]

Это был один проход алгоритма, соответствующий крайнему правому разряду ключа. На следующем проходе, элементы из уже обновленной последовательности распределяются по корзинам в соответствии с их вторым(т.е. предпоследним) разрядом и т.д по самого старшего, максимального, [math]width[/math]-го разряда ключа.

Второй проход:

Первый этап — корзины №3, 4, 6, 8 окажутся пусты, а остальные распределят элементы след. образом:

[math]list0: 8, 9[/math]

[math]list1: 11[/math]

[math]list2: 21, 24[/math]

[math]list5: 59[/math]

[math]list7: 76[/math]

[math]list9: 98[/math]

Второй этап — собираем и получаем отсортированную по возрастанию последовательность: [math]8, 9(list0), 11(list1), 21(list2), 59(list5), 76(list7), 98(list 9)[/math]

Время работы

Алгоритм цифровой сортировки работает за линейное время - [math]O(k(n + |A|))[/math], где [math]|A|[/math] — мощность алфавита([math]range[/math]), [math]k[/math] — максимальная длина строки([math]width[/math]), [math]n[/math] — количество сортируемых строк.

Применение

Алгоритм цифровой сортировки позволяет строить суффиксный массив за [math]O(n^2)[/math], где [math]n[/math] — длина строки.

Источник

Дональд Кнут Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск = The Art of Computer Programming, vol.3. Sorting and Searching. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 824. — ISBN 5-8459-0082-4