689
правок
Изменения
Дискретная математика - не наука, ее придумали те, кто ей 'занимается', так-то, ребятки.
[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]
== Полукольцо ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> - некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> - совокупность его подмножеств(необязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:
1) <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
2) <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex>
3) <tex> A \cup B, A, B \in \mathcal R \Rightarrow B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).
}}
Простой пример полукольца: <tex> X = \mathbb R, \mathcal R = \{\ [a; b) | a, b \in \mathbb R, a \le b\ \} </tex>.
Элементы этого полукольца называются '''ячейками'''.
Докажем теперь пару полезных утверждений для полуколец.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B, A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k </tex> дизъюнктны.
|proof=
Доказательство ведем индукцией по <tex> n </tex>. При <tex> n = 1 </tex> получаем в точности третью аксиому полукольца.
Пусть теперь утверждение выполнялось для <tex> n - 1 </tex> множества. Тогда получаем:
<tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = ( B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n-1} A_j\ ) \setminus A_n = (\bigcup\limits_{k} D_k) \setminus A_n = \bigcup\limits_{k}(D_k \setminus A_n) = \bigcup\limits_{k}(\bigcup\limits_{j} D_{k_j}) = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>
Очевидно, множества из получившегося объединения дизъюнктны, как и требуется, поэтому утверждение выполняется для любого <tex> n </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B_1, B_2, \ldots, B_n \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> \bigcup\limits_{n} B_n = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k</tex> дизъюнктны.
|proof=
<tex> \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus B_1) \cup \ldots \cup (B_n \setminus B_1) \cup \ldots </tex>
По доказанному выше утверждению, это объединение можно записать как:
<tex> B_1 \cup (\bigcup\limits_{k_2} D_{k_2}) \cup (\bigcup\limits_{k_3} D_{k_3}) \cup \ldots = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>
}}
== Алгебра ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> - некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> - совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> - '''алгебра''', если:
1) <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
2) <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>
3) <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>
}}
Из данных аксиом следует, что <tex> X = \overline \varnothing \in \mathcal A </tex> и <tex> B \cup C = \overline {\overline B \cup \overline C} \in \mathcal A </tex>, поэтому алгебра замкнута относительно любых конечных теоретико-множественных операций.
Если усилить третью аксиому, потребовав принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств, то получим структуру, называемую '''σ-алгеброй'''(сигма-алгебра). Она замкнута относительно теоретико-множественных операций с неболее чем счетным числом объектов.
Очевидно, сигма-алгебры являются частным случаем обычных алгебр, которые, в свою очередь, являются частным случаем полуколец.
[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Полукольцо ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> - некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> - совокупность его подмножеств(необязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:
1) <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
2) <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex>
3) <tex> A \cup B, A, B \in \mathcal R \Rightarrow B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).
}}
Простой пример полукольца: <tex> X = \mathbb R, \mathcal R = \{\ [a; b) | a, b \in \mathbb R, a \le b\ \} </tex>.
Элементы этого полукольца называются '''ячейками'''.
Докажем теперь пару полезных утверждений для полуколец.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B, A_1, A_2, \ldots, A_n \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k </tex> дизъюнктны.
|proof=
Доказательство ведем индукцией по <tex> n </tex>. При <tex> n = 1 </tex> получаем в точности третью аксиому полукольца.
Пусть теперь утверждение выполнялось для <tex> n - 1 </tex> множества. Тогда получаем:
<tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = ( B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n-1} A_j\ ) \setminus A_n = (\bigcup\limits_{k} D_k) \setminus A_n = \bigcup\limits_{k}(D_k \setminus A_n) = \bigcup\limits_{k}(\bigcup\limits_{j} D_{k_j}) = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>
Очевидно, множества из получившегося объединения дизъюнктны, как и требуется, поэтому утверждение выполняется для любого <tex> n </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B_1, B_2, \ldots, B_n \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> \bigcup\limits_{n} B_n = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k</tex> дизъюнктны.
|proof=
<tex> \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus B_1) \cup \ldots \cup (B_n \setminus B_1) \cup \ldots </tex>
По доказанному выше утверждению, это объединение можно записать как:
<tex> B_1 \cup (\bigcup\limits_{k_2} D_{k_2}) \cup (\bigcup\limits_{k_3} D_{k_3}) \cup \ldots = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>
}}
== Алгебра ==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> - некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> - совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> - '''алгебра''', если:
1) <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
2) <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>
3) <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>
}}
Из данных аксиом следует, что <tex> X = \overline \varnothing \in \mathcal A </tex> и <tex> B \cup C = \overline {\overline B \cup \overline C} \in \mathcal A </tex>, поэтому алгебра замкнута относительно любых конечных теоретико-множественных операций.
Если усилить третью аксиому, потребовав принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств, то получим структуру, называемую '''σ-алгеброй'''(сигма-алгебра). Она замкнута относительно теоретико-множественных операций с неболее чем счетным числом объектов.
Очевидно, сигма-алгебры являются частным случаем обычных алгебр, которые, в свою очередь, являются частным случаем полуколец.
[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
