Формула Зыкова

Определение:

Независимым множеством (кокликой, англ. coclique) в графе [math]G[/math] называется непустое множество [math]S \subset V: \forall v,u \in S\[/math] ребро [math](v,u) \notin E[/math].

Теорема (Зыкова):

Хроматический многочлен графа [math]G[/math] [math]P(G,x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}[/math], где [math]pt(G,i)[/math] — число способов разбить вершины [math]G[/math] на [math]i[/math] независимых множеств, [math]n = |V|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть в [math]x[/math]-раскраске графа [math]G[/math], используется точно [math]i[/math] цветов. [math]1 \le i \le x[/math] Для получения такой раскраски сначала выберем одним из [math]pt(G,i)[/math] способов разбиение графа [math]G[/math] на [math]i[/math] независимых множеств, а затем одним из [math]{x\choose i} i! = x^{\underline i}[/math] способов [math]i[/math] упорядоченных цветов из [math]x[/math]. [math]i \gt x[/math] Число [math]x[/math]-раскрасок графа [math]G[/math], в которых используется точно [math]i[/math] цветов равно [math]0[/math], так же как и [math]x^{\underline i}[/math]. Суммирование по [math]i[/math] от [math]1[/math] до [math]n[/math] даёт полное число способов.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

1. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. — Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. — С. 140—141. — ISBN 5-93972-076-5