689
правок
Изменения
"У вас голова еще работает!? Или вы все уже к выборам готовитесь?"
[[Внешняя мера|<<]] [[Процесс Каратеодори|>>]]
{{Определение
|definition=
Пусть есть множество <tex> X </tex> и внешняя мера <tex> \mu^* </tex> на нем, и множества <tex> A, B </tex> являются подмножествами <tex> X </tex>. Множество <tex> A </tex> '''хорошо разбивает''' множество <tex> B </tex>, если <tex> \mu^*(B) = \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex>.
}}
Так как <tex> B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A}) </tex>, то, по полуаддитивности внешней меры, <tex> \mu^*(B) \le \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex> всегда, поэтому, когда мы будем проверять, что одно множество хорошо разбивает другое, достаточно проверять неравенство <tex> \mu^*(B) \ge \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex>. Оно всегда верно, если <tex> \mu^*(B) = +\infty </tex>, поэтому далее будем проверять его только для случая <tex> \mu^*(B) \le +\infty </tex>.
Выделим в <tex> X </tex> класс множеств <tex> \mathcal{A} </tex>, такой, что каждое <tex> A \in \mathcal{A} </tex> хорошо разбивает любое множество из <tex> X </tex>.
{{Теорема
|statement=
1) <tex> \mathcal{A} </tex> — <tex> \sigma </tex>-алгебра множеств.<br>
2) <tex> \mu^* |_{\mathcal{A}} </tex> — мера на <tex> \mathcal{A} </tex>.
|proof=
Доказательство разбиваем на 2 этапа. На первом этапе мы докажем, что <tex> \mathcal{A} </tex> - алгебра, а <tex> \mu^* </tex> конечно-аддитивна на этой алгебре. На втором этапе — что <tex> \mathcal{A} </tex> — <tex> \sigma </tex>-алгебра, а <tex> \mu^* </tex> является <tex> \sigma </tex>-аддитивной на ней.
'''1.'''
Сначала проверим аксиомы алгебры:
<tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) \ge \mu^*(E) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap \overline{\varnothing}) </tex>, значит, <tex> \varnothing \in \mathcal{A} </tex>.
Пусть <tex> A \in \mathcal{A} </tex>, тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = \mu^*(E \cap \overline{A}) + \mu^*(E \cap \overline{\overline{A}}) </tex>, значит, для <tex> \forall A \in \mathcal{A}:\ \overline{A} \in \mathcal{A}</tex>.
Пусть <tex> A, B \in \mathcal{A} </tex>.
Заметим, что, так как <tex> \overline{A \cap B} \subset \overline{A} </tex>, то <tex> E \cap \overline{A} = E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A} </tex>, и меры этих множеств равны.
Также, <tex> A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} = \overline{(A \cup \overline{A}) \cap (B \cup \overline{A})} = \overline{(A \cap B) \cup \overline{A}} = \overline{A \cap B} \cap A </tex>, и <tex> \mu^*(E \cap A \cap \overline{B}) = \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) </tex>.
Тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>
<tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap A \cap \overline B) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>
<tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A}) = </tex>
<tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B}) </tex>.
Значит, <tex> A \cap B </tex> тоже хорошо разбивает любое подмножество <tex> X </tex> и принадлежит <tex> \mathcal A </tex>. Мы доказали, что <tex> \mathcal A </tex> - алгебра.
Пусть <tex> A \in \mathcal{A}, A = A_1 \cup A_2 </tex>, проверим, что <tex> \mu^* </tex> конечно-аддитивна.
<tex> \mu^*(A) = \mu^*(A_1 \cup A_2) = \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap A_1) + \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap \overline{A_1} = \mu^*(A_1) + \mu^*(A_2) </tex>.
Мы сделали проверку для двух множеств, дальше можно доказать требуемое для любого конечного числа множеств по индукции.
'''2.'''
}}
[[Внешняя мера|<<]] [[Процесс Каратеодори|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
{{Определение
|definition=
Пусть есть множество <tex> X </tex> и внешняя мера <tex> \mu^* </tex> на нем, и множества <tex> A, B </tex> являются подмножествами <tex> X </tex>. Множество <tex> A </tex> '''хорошо разбивает''' множество <tex> B </tex>, если <tex> \mu^*(B) = \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex>.
}}
Так как <tex> B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A}) </tex>, то, по полуаддитивности внешней меры, <tex> \mu^*(B) \le \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex> всегда, поэтому, когда мы будем проверять, что одно множество хорошо разбивает другое, достаточно проверять неравенство <tex> \mu^*(B) \ge \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex>. Оно всегда верно, если <tex> \mu^*(B) = +\infty </tex>, поэтому далее будем проверять его только для случая <tex> \mu^*(B) \le +\infty </tex>.
Выделим в <tex> X </tex> класс множеств <tex> \mathcal{A} </tex>, такой, что каждое <tex> A \in \mathcal{A} </tex> хорошо разбивает любое множество из <tex> X </tex>.
{{Теорема
|statement=
1) <tex> \mathcal{A} </tex> — <tex> \sigma </tex>-алгебра множеств.<br>
2) <tex> \mu^* |_{\mathcal{A}} </tex> — мера на <tex> \mathcal{A} </tex>.
|proof=
Доказательство разбиваем на 2 этапа. На первом этапе мы докажем, что <tex> \mathcal{A} </tex> - алгебра, а <tex> \mu^* </tex> конечно-аддитивна на этой алгебре. На втором этапе — что <tex> \mathcal{A} </tex> — <tex> \sigma </tex>-алгебра, а <tex> \mu^* </tex> является <tex> \sigma </tex>-аддитивной на ней.
'''1.'''
Сначала проверим аксиомы алгебры:
<tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) \ge \mu^*(E) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap \overline{\varnothing}) </tex>, значит, <tex> \varnothing \in \mathcal{A} </tex>.
Пусть <tex> A \in \mathcal{A} </tex>, тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = \mu^*(E \cap \overline{A}) + \mu^*(E \cap \overline{\overline{A}}) </tex>, значит, для <tex> \forall A \in \mathcal{A}:\ \overline{A} \in \mathcal{A}</tex>.
Пусть <tex> A, B \in \mathcal{A} </tex>.
Заметим, что, так как <tex> \overline{A \cap B} \subset \overline{A} </tex>, то <tex> E \cap \overline{A} = E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A} </tex>, и меры этих множеств равны.
Также, <tex> A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} = \overline{(A \cup \overline{A}) \cap (B \cup \overline{A})} = \overline{(A \cap B) \cup \overline{A}} = \overline{A \cap B} \cap A </tex>, и <tex> \mu^*(E \cap A \cap \overline{B}) = \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) </tex>.
Тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>
<tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap A \cap \overline B) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>
<tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A}) = </tex>
<tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B}) </tex>.
Значит, <tex> A \cap B </tex> тоже хорошо разбивает любое подмножество <tex> X </tex> и принадлежит <tex> \mathcal A </tex>. Мы доказали, что <tex> \mathcal A </tex> - алгебра.
Пусть <tex> A \in \mathcal{A}, A = A_1 \cup A_2 </tex>, проверим, что <tex> \mu^* </tex> конечно-аддитивна.
<tex> \mu^*(A) = \mu^*(A_1 \cup A_2) = \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap A_1) + \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap \overline{A_1} = \mu^*(A_1) + \mu^*(A_2) </tex>.
Мы сделали проверку для двух множеств, дальше можно доказать требуемое для любого конечного числа множеств по индукции.
'''2.'''
}}
[[Внешняя мера|<<]] [[Процесс Каратеодори|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
