Бинарное отношение

Определение

Определение:

Бинарным отношением R из множества A в множество B называется подмножество прямого произведения A и B и обозначается: [math]R \subset \Alpha \times \Beta[/math]

Часто используют инфиксную форму записи: [math]aRb, \ \langle x, y \rangle\in R[/math]

Если отношение определено на множестве A то возможно следующее определение:

Определение:

Бинарным (или двуместным) отношением R на множестве A называется множество упорядоченных пар элементов этого множества

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Степень отношений

Пусть R - отношение на множестве A.

Определение:

Степенью отношения R на множестве A называется его композиция с самим собой: [math]R^n \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ R_1 \circ \dots \circ R_n[/math]

Свойства отношений

Для [math]R \subset A^2[/math] определены свойства:

• Рефлексивность: [math]\mathcal {8} x \in A \ (xRx)[/math]
• Антирефлексивность: [math]\mathcal {8} x \in A \ (\neg xRx)[/math]
• Симметричность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)[/math]
• Антисимметричность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)[/math]
• Транзитивность: [math]\mathcal {8} x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)[/math]
• Связность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \lor yRx)[/math]
• Ассимметричность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))[/math]

Виды отношений

Выделяются следующие виды отношений:

• квазипорядка — рефлексивное транзитивное
• эквивалентности — рефлексивное симметричное транзитивное
• частичного порядка — рефлексивное антисимметричное транзитивное
• строгого порядка — антирефлексивное антисимметричное транзитивное
• линейного порядка — полное антисимметричное транзитивное
• доминирования — антирефлексивное антисимметричное

Примеры отношений

• Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
• Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
• Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
• Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
• Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно.
• Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

См. также

• Композиция отношений

Ссылки

• wikipedia.org — Бинарное отношение
• wikia.com - Бинарное отношение
• http://www.studfiles.ru/dir/cat14/subj266/file9092/view94463/page2.html