|
|
| (не показано 13 промежуточных версий 3 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{В разработке}}
| + | #перенаправление [[Полином Жегалкина#Преобразование Мёбиуса]] |
| − | Пусть задана булева функция <tex>f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\{ 0; 1 \}</tex>. Любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина, притом единственным образом. Пусть <tex> i = (i _{1}, i _{2}, .. i _{n}), \;\; i _{k} = \{0 ; 1\}</tex>, и введем обозначение <tex> x ^{i _{k}} \sim \left\{\begin{matrix} x, \;\; i _{k}=1
| |
| − | \\ 1, \;\; i _{k}=0
| |
| − | \end{matrix}\right. </tex> Тогда полином Жегалкина можно записать как:
| |
| − | :<math> f(x) = \bigoplus _{i} \alpha _{i} \cdot x_{1}^{i_{1}} \cdot x_{2}^{i_{2}} \cdot ... \cdot x_{n}^{i_{n}}</math>,
| |
| − | :где <tex>\alpha _{i} \in \{ 0; 1 \}</tex>
| |
| − | | |
| − | Тогда отображение <tex>f\rightarrow \alpha _{i} </tex> (то есть такое, которое по заданной функции определяет ее коэффициенты при членах полинома Жегалкина) является:
| |
| − | | |
| − | : <math>\alpha _{i} = \bigoplus _{j\preceq i} f(j)</math>
| |
| − | | |
| − | Такое отображение также называется '''преобразованием Мёбиуса'''.
| |
| − | ----
| |
| − | <br/>
| |
| − | Очевидно, функцию <tex> f </tex> можно записать и следующим образом:
| |
| − | | |
| − | : <math> f(x) = \bigoplus _{i} \alpha _{i} \cdot [x _{1} , \; \text {if} \;\; i _{1}] \cdot [x _{2} , \; \text {if} \;\; i _{2}] \cdot ... \cdot [x _{n} , \; \text {if} \;\; i_{n}]</math>
| |
| − | | |
| − | Запись <tex>[x _{k} , \; \text {if} \; i _{k}]</tex> означает, что элелемент <tex> x_{k} </tex> присутствует в соответствующем члене полинома только если <tex> i_{k} = 1 </tex>.
| |
| − | Отсюда ясно, что
| |
| − |
| |
| − | : <math> f(x) = \bigoplus _{i \preceq x} \alpha _{i} </math>.
| |
| − | | |
| − | Таким образом, если применить '''преобразование Мёбиуса''' к функции, а затем вновь применить то же преобразование к получившейся функции, тогда вновь получим исходную функцию <tex>f</tex>. То есть '''преобразование Мёбиуса''' обратно самому себе.
| |
