КНФ

КНФ

Определение:

Простой дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.

Элементарная дизъюнкция

• правильная, если в неё каждая переменная входит не более одного раза (включая отрицание);
• полная, если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно 1 раз;
• монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.

Определение:

КНФ (Конъюнктивная Нормальная Форма) — нормальная форма, в которой булева функция имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.

Пример КНФ: [math]f(x,y) = (x \lor y) \land (y \lor \overline{z})[/math]

КНФ может быть преобразована к эквивалентной ей ДНФ путём раскрытия скобок по правилу: [math]a (b\lor c)\to a b\lor a c[/math], которое выражает дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции. После этого необходимо в каждой конъюнкции удалить повторяющиеся переменные или их отрицания, а также выбросить из дизъюнкции все конъюнкции, в которых встречается переменная вместе со своим отрицанием. При этом результатом не обязательно будет СДНФ, даже если исходная КНФ была СКНФ. Точно также можно всегда перейти от ДНФ к КНФ. Для этого следует использовать правило [math]a\lor b c\to (a \lor b)(a \lor c)[/math], выражающее дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции. Результат нужно преобразовать описанным выше способом, заменив слово «конъюнкция» на «дизъюнкция» и наоборот.

СКНФ

Определение:

СКНФ (Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма) — это такая КНФ, которая удовлетворяет условиям: в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций в каждой дизъюнкции нет одинаковых переменных каждая элементарная дизъюнкция содержит каждый из аргументов функции.

Пример СКНФ: [math]f(x,y,z) = (x \lor \overline{y} \lor z) \land (x\lor y \lor \overline{z})[/math]

Теорема:

Для любой булевой функции [math]f(\vec{x})[/math], не равной тождественной единице, существует СКНФ, ее задающая.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Поскольку инверсия функции [math]\overline{f}(\vec x)[/math] равна единице на тех наборах, на которых [math]f(\vec x)[/math] равна нулю, то СДНФ для [math]\overline{f}(\vec x)[/math] можно записать следующим образом: [math] \overline{f}(\vec x) = \bigvee\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (x_{1}^{\sigma_{1}} \wedge x_{2}^{\sigma_{2}} \wedge ... \wedge x_{n}^{\sigma_{n}}) [/math], где [math] \sigma_{i} [/math] обозначает наличие или отсутствие отрицание при [math] x_{i} [/math] Найдём инверсию левой и правой части выражения: [math] f(\vec x) = \overline{\bigvee\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (x_{1}^{\sigma_{1}} \wedge x_{2}^{\sigma_{2}} \wedge ... \wedge x_{n}^{\sigma_{n}})} [/math] Применяя дважды к полученному в правой части выражению правило де Моргана, получаем: [math] f(\vec x) = \bigwedge\limits_{f(x^{\sigma_{1}}, x^{\sigma_{2}}, ... ,x^{\sigma_{n}}) = 0} (x_{1}^{\overline{\sigma_{1}}} \vee x_{2}^{\overline{\sigma_{2}}} \vee ... \vee x_{n}^{\overline{\sigma_{n}}}) [/math] Последнее выражение и является СКНФ. Так как СКНФ получена из СДНФ, которая может быть посторена для любой функции, то теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности

1. В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно 0.
2. Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть 0, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.
3. Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

Пример построения СКНФ

1. В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно 0.

x	y	z	[math]med(x,y,z)[/math]
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

2. Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу : если значение некоторой переменной есть 0, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.

x	y	z	[math]med(x,y,z)[/math]
0	0	0	0	[math]( x \lor y \lor z)[/math]
0	0	1	0	[math]( x \lor y \lor \overline{z})[/math]
0	1	0	0	[math](x \lor \overline{y} \lor z)[/math]
0	1	1	1
1	0	0	0	[math](\overline{x} \lor y \lor z)[/math]
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

3. Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

[math]med(x,y,z) = ( x \lor y \lor z) \land (\overline{x} \lor y \lor z) \land (x \lor \overline{y} \lor z) \land ( x \lor y \lor \overline{z})[/math]

Примеры СКНФ для некоторых функций

Стрелка Пирса: [math] x \downarrow y = (\overline{x} \lor y) \land (x \lor \overline{y}) \land (\overline{x} \lor \overline{y})[/math]

Исключающее или: [math] x \oplus y \oplus z = (\overline{x} \land \overline{y} \land z) \lor (\overline{x} \land y \land \overline{z}) \lor (x \land \overline{y} \land \overline{z}) \lor (x \land y \land z)[/math]

Ссылки

• СКНФ — Википедия
• Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская — Дискретная математика