Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

Алгоритм систем подмножеств

Данный алгоритм заменяет НКА из [math]n[/math] состояний на эквивалентный ДКА из [math]2^n[/math] состояний.

Алгоритм

Задание состояний:

Состояние нашего ДКА будет соответствовать подмножеству состояний НКА - то есть их будет ровно [math]2^n[/math].

Задание переходов:

Возьмём состояние нашего ДКА [math]q[/math], соответствующее подмножеству состояний НКА — [math](a_1, a_2, ..., a_m)[/math], и символ [math]c[/math]. Тогда [math]\delta_D(q, c) = p[/math], где p - состояние ДКА, соответствующее подмножеству состояний НКА - [math]\cup_{i=1}^{m} \delta(a_i, c)[/math], где [math]\delta_D[/math] — функция перехода в ДКА, а [math]\delta[/math] — функция перехода в НКА.

Задание стартового состояния:

Стартовое состояние - состояние ДКА, соответствующее множеству из одного стартового состояния НКА.

Задание терминальных вершин:

Если в подмножестве состояний НКА есть хотя бы одна терминальная вершина, то вершина ДКА, соответствующая этому подмножеству, будет терминальной.

Терминология:

[math]q[/math] - состояние НКА.

[math]q_d[/math] - состояние ДКА.

[math]\delta[/math] - функция перехода в НКА.

[math]\delta_D[/math] - функция перехода в ДКА.

[math]q \in q_d[/math] - [math]q[/math] принадлежит [math]q_d[/math], если множество состояний НКА, соответствующее состоянию [math]q_d[/math], содержит состояние [math]q[/math].

Доказательство эквивалентности

Теорема:

Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]1.[/math] Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА.     Сделаем наблюдение, что если [math]q \in q_d[/math] и символ перехода - [math]c[/math], то [math]\forall p \in \delta(q, c)[/math]: [math]p \in \delta_D(q_d, c)[/math].     Рассмотрим последовательность состояний НКА, когда принимали слово - [math](q_1, ..., q_m)[/math] - и последовательность состояний ДКА, когда принимали слово - [math]({q_d}_1, ..., {q_d}_m)[/math].     Мы знаем, что [math]q_m[/math] - терминальная, так как НКА принимает слово. Надо доказать, что [math]{q_d}_m[/math] - терминальная.     Заметим, что [math]q_1 \in {q_d}_1[/math] - так как это стартовые состояния, а, значит, по нашему наблюдению [math]q_2 \in {q_d}_2[/math] и так далее. Получается, что [math]q_m \in {q_d}_m[/math]. Мы знаем, что [math]q_m[/math] - терминальная вершина, а, значит, по определению терминальной вершины в нашем ДКА, что [math]{q_d}_m[/math] - тоже терминальная. [math]2.[/math] Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА.     Рассмотрим последовательность состояний ДКА, когда принимали слово - [math]({q_d}_1, ..., {q_d}_m)[/math].     Сделаем наблюдение, что если [math]q_d[/math], соответствует множеству из одного элемента - [math]q[/math], и мы из него достигли по строке [math]S[/math] какого-то состояния [math]p_d[/math], то [math]\forall p \in p_d[/math]: существует путь из [math]q[/math] в [math]p[/math] в НКА по строке [math]S[/math].     А так как [math]{q_d}_1[/math] - стартовое состояние, соответствует множеству из одного элемента - [math]q_1[/math] - стартовое состояние. Мы из [math]{q_d}_1[/math] достигли [math]{q_d}_m[/math], возьмём любое терминальное состояние [math]q_m \in {q_d}_m[/math] - по нашему наблюдению, в НКА есть путь из [math]q_1[/math] в [math]q_m[/math] по нужной строке, а, значит, что НКА принимает это слово. Получается, что мы доказали, что если НКА принимает слово, равносильно тому, что ДКА его тоже принимает. А это означает, что автоматы эквивалентны.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм Томпсона

Данный алгоритм используется для преобразования НКА в ДКА. Смысл этого алгоритма, как и предыдущего, состоит в замене множества из [math]n[/math] состояний НКА, множеством из [math]2^n[/math] подмножеств его состояний. Но не все из [math]2^n[/math] состояний будут присутствовать в ДКА, ввиду недостижимости многих из них, поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

Алгоритм

Вначале в очередь помещается множество, состоящее только из стартового состояния НКА [math]{q_0}[/math]. Затем из очереди изымается очередное множество [math]P[/math] — новое состояние ДКА. Если в [math]P[/math] есть допускающие состояния, то оно допускающее. Функция перехода строится по следующему правилу: [math]\delta_D(P, c) = \bigcup_{q_i \in P}\delta_N(q_i, c)[/math].
В результате [math]\delta_D(P, c)[/math] задаст новое состояние [math]Q[/math] автомата. Если [math]Q[/math] еще нет в ДКА, тогда мы помещаем [math]Q[/math] в очередь. Так как [math]|Q_N|[/math] - конечна, а [math]|Q_D| \le 2^{|Q_N|}[/math], то алгоритм завершится за конечное число шагов. Отсюда же получается верхняя оценка на время работы алгоритма — в худшем случае это [math]O(2^n)[/math].

Корректность

Утверждение:

Построенный автомат принимает тот же язык

[math]\triangleright[/math]

Применим индукцию по длине слова [math]\omega[/math]. [math]|\omega|=1[/math]: По построению стартовое состояние ДКА будет [math]{s}[/math], где [math]s[/math] — стартовое состояние НКА, причем допускать они могут только одновременно. Пусть для [math]|\omega|=n[/math] - это верно, докажем, что верно и для [math]|\omega|=n+1[/math]: Пусть НКА на шаге n мог находиться в состояниях [math]{q_1...q_k}[/math], тогда ДКА, по построению, находится в состоянии [math]Q={q_1...q_k}[/math]. После перехода по [math]\omega[n+1] = c[/math] НКА будет находиться в состояниях [math]{\delta_N(q_1, c)...\delta_N(q_k, c)}[/math], а ДКА в состоянии [math]P=\delta_D(Q, c)[/math], причем, в силу построения, оно будет допускающим, когда одно из [math]{\delta_N(q_1, c)...\delta_N(q_k, c)}[/math] — допускающее. Что нам и требовалось.

[math]\triangleleft[/math]