Использование обхода в глубину для поиска компонент сильной связности

Постановка задачи

Дан ориентированный граф [math]G[/math]. Требуется найти в этом графе компоненты сильной связанности.

Алгоритм

Данная задачи решается с помощью поиска в глубину в 3 этапа:

1. Построить граф [math]H[/math] с обратными (инвертированными) рёбрами
2. Выполнить в [math]H[/math] поиск в глубину и найти [math]f[u][/math] - время окончания обработки вершины [math]u[/math]
3. Выполнить поиск в глубину в [math]G[/math], перебирая вершины во внешнем цикле в порядке убывания [math]f[u][/math]

Полученные на 3-ем этапе деревья поиска в глубину будут являться компонентами сильной связности графа [math]G[/math].
Так как компоненты сильной связности [math]G[/math] и [math]H[/math] графа совпадают, то первый поиск в глубину для нахождения [math]f[u][/math] можно выполнить на графе [math]G[/math], а второй - на [math]H[/math].

Доказательство

Докажем два утверждения:

• если вершины [math]s[/math] и [math]t[/math] взаимно достижимы, то они после работы алгоритма окажутся в одной компоненте сильной связности
• если вершины [math]s[/math] и [math]t[/math] после работы алгоритма оказались в одной компоненте сильной связности, то они взаимно достижимы

Доказательство первого утверждения

Если вершины [math]s[/math] и [math]t[/math] были взаимно достижимы в графе [math]G[/math], то они будут взаимно достижимы и в графе [math]H[/math]. Рассмотрим дерево обхода в глубину графа [math]H[/math]. Поскольку вершины [math]s[/math] и [math]t[/math] взаимно достижимы, то очевидно, что одна из них окажется в поддереве другой. Без потери общности скажем, что вершина [math]t[/math] оказалась в поддереве вершины [math]s[/math]. Значит, время выхода из вершины [math]t[/math] будет меньше, чем время выхода из вершины [math]s[/math]. Соответственно, во время третьего шага алгоритма вершина [math]s[/math] будет рассмотрена раньше, чем вершина [math]t[/math], а значит, вершина [math]s[/math] снова попадет в ее поддерево, и они окажутся в одной компоненте сильной связности.

Доказательство второго утверждения

Рассмотрим корень [math]r[/math] дерева второго обхода в глубину, в котором оказались вершины [math]s[/math] и [math]t[/math]. В графе [math]G[/math] существует путь из [math]r[/math] в [math]s[/math] и в [math]t[/math]. Рассмотрим теперь дерево обхода графа [math]H[/math]. То, что вершина [math]r[/math] была рассмотрена вторым обходом в глубину раньше, чем [math]s[/math] и [math]t[/math], говорит нам о том, что время выхода из нее больше, чем время выхода из вершин [math]s[/math] и [math]t[/math]. Это может означать, что или обе эти вершины были достижимы из [math]r[/math], что означает их взаимную достижимость в обоих графах, или что между [math]r[/math] и этими вершинами вообще нет пути ни в одну сторону, ни в другую. Но последнего быть не может, так как эти вершины были достижимы из [math]r[/math] в графе [math]G[/math], а значит, вершина [math]r[/math] достижима из них в графе [math]H[/math]. Значит, вершины [math]s[/math] и [math]t[/math] взаимно достижимы в обоих графах.

Пример реализации

   vector<vector<int>> g, h;                                  //g хранит граф в виде списка смежностей, h - инвертированный
   vector<int> color, ord, component;                         //цвет вершины, список вершин в порядке окончания обработки, номер компоненты, к который относиться вершина
   int col;                                                   //номер текущей компоненты
   
   void dfs(int & v)                                          //первый поиск в глубину, определяющий порядок обхода
   {
       color[v] = 1;
       for (unsigned i = 0; i < g[v].size(); ++i)
       {
           if (color[g[v][i]] == 0)
               dfs(g[v][i]);
       }
       ord.push_back(v);                                      //добавляем вершину v в конец списка ord[]
   }
   
   void dfs2(int & v)                                         //второй поиск в глубину, выявляет компоненты сильной связности в графе 
   {
       component[v] = col;                                    //помечаем вершину v как принадлежащую компоненте с номером col
       for (unsigned i = 0; i < h[v].size(); ++i)
       {
           if (component[h[v][i]] == 0)                       
               dfs2(h[v][i]);
       }
   }
   
   int main()
   {
       ...                                                    //считываем исходные данные, формируем массивы g и h
       for (int i = 1; i <= n; ++i)                           //формируем массив ord[]
       {
           if (color[i] == 0)
               dfs(i);
       }
       col = 1;
       for (int i = ord.size(); i > 0; --i)                   //ищем компоненты связности, вызывая вершины в обратном порядке
       {                                                      //от сохранённого в ord[], что соответствует уменьшению времени конца обработки f[]
           if (component[ord[i - 1]] == 0)
               dfs2(ord[i - 1]), col++;
       }
   }

По окончании выполнения алгоритма в [math]component[i][/math] имеем номер компоненты, к которой принадлежит вершина [math]i[/math].

Литература

• Р.Седжвик. "Фундаментальные алгоритмы на С++. Алгоритмы на графах" - СПб, ДиаСофтЮП, 2002