Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

Алгоритм систем подмножеств

Данный алгоритм заменяет НКА из [math]n[/math] состояний на эквивалентный ДКА из [math]2^n[/math] состояний.

НКА: [math]\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to P(Q) \rangle[/math].

ДКА: [math]\langle \Sigma , Q_d, \{s\} \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_D : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle[/math], где [math]Q_d = 2^Q[/math].

Алгоритм

Задание состояний:

    Состояние нашего ДКА будет соответствовать подмножеству состояний НКА - то есть их будет ровно [math]2^n[/math].

Задание переходов:

    Возьмём состояние нашего ДКА [math]q[/math], соответствующее подмножеству состояний НКА — [math](a_1, a_2, ..., a_m)[/math], и символ [math]c[/math]. Тогда [math]\delta_D(q, c) = p[/math], где p - состояние ДКА, соответствующее подмножеству состояний НКА - [math]\cup_{i=1}^{m} \delta(a_i, c)[/math], где [math]\delta_D[/math] — функция перехода в ДКА, а [math]\delta[/math] — функция перехода в НКА.

Задание стартового состояния:

    Стартовое состояние - состояние ДКА, соответствующее множеству из одного стартового состояния НКА.

Задание терминальных вершин:

    Если в подмножестве состояний НКА есть хотя бы одна терминальная вершина, то вершина ДКА, соответствующая этому подмножеству, будет терминальной.

Терминология:

    [math]q[/math] - состояние НКА.

    [math]q_d[/math] - состояние ДКА.

    [math]\delta[/math] - функция перехода в НКА.

    [math]\delta_D[/math] - функция перехода в ДКА.

    [math]q \in q_d[/math] - [math]q[/math] принадлежит [math]q_d[/math], если множество состояний НКА, соответствующее состоянию [math]q_d[/math], содержит состояние [math]q[/math].

Доказательство эквивалентности

Теорема:

Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]1.[/math] Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА.     Сделаем наблюдение, что если [math]q \in q_d[/math] и символ перехода - [math]c[/math], то [math]\forall p \in \delta(q, c)[/math]: [math]p \in \delta_D(q_d, c)[/math].     Рассмотрим последовательность состояний НКА, когда принимали слово - [math](q_1, ..., q_m)[/math] - и последовательность состояний ДКА, когда принимали слово - [math]({q_d}_1, ..., {q_d}_m)[/math].     Мы знаем, что [math]q_m[/math] - терминальная, так как НКА принимает слово. Надо доказать, что [math]{q_d}_m[/math] - терминальная.     Заметим, что [math]q_1 \in {q_d}_1[/math] - так как это стартовые состояния, а, значит, по нашему наблюдению [math]q_2 \in {q_d}_2[/math] и так далее. Получается, что [math]q_m \in {q_d}_m[/math]. Мы знаем, что [math]q_m[/math] - терминальная вершина, а, значит, по определению терминальной вершины в нашем ДКА, что [math]{q_d}_m[/math] - тоже терминальная. [math]2.[/math] Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА.     Рассмотрим последовательность состояний ДКА, когда принимали слово - [math]({q_d}_1, ..., {q_d}_m)[/math].     Сделаем наблюдение, что если [math]q_d[/math], соответствует множеству из одного элемента - [math]q[/math], и мы из него достигли по строке [math]S[/math] какого-то состояния [math]p_d[/math], то [math]\forall p \in p_d[/math]: существует путь из [math]q[/math] в [math]p[/math] в НКА по строке [math]S[/math].     А так как [math]{q_d}_1[/math] - стартовое состояние, соответствует множеству из одного элемента - [math]q_1[/math] - стартовое состояние. Мы из [math]{q_d}_1[/math] достигли [math]{q_d}_m[/math], возьмём любое терминальное состояние [math]q_m \in {q_d}_m[/math] - по нашему наблюдению, в НКА есть путь из [math]q_1[/math] в [math]q_m[/math] по нужной строке, а, значит, что НКА принимает это слово. Получается, что мы доказали, что если НКА принимает слово, равносильно тому, что ДКА его тоже принимает. А это означает, что автоматы эквивалентны.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм Томпсона

Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Мы будем использовать предыдущий алгоритм построения с одним дополнением - нам не нужны состояния недостижимые из стартового.

Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

Алгоритм

[math]Q[/math] - очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА. [math]s[/math] - стартовое состояние НКА.

 1: [math]Q.push(\{s\})[/math]
 2: [math]while[/math] [math]not[/math] [math](isEmpty(Q))\{[/math]
 3:    [math]Q.pop(q_d)[/math]
 4:    [math]for[/math] [math]c \in \Sigma \{[/math]
 5:      [math]p_d = \o[/math]
 6:      [math]for[/math] [math]q \in q_d[/math] 
 7:        [math]p_d = p_d \cup \delta(q, c)[/math]
 8:      [math]if[/math] [math](p_d[/math] [math]haven't[/math] [math]been[/math] [math]in[/math] [math]Q[/math])
 9:        [math]Q.push(p_d)[/math]
 10:   [math]\}[/math]
 11: [math]\}[/math]

Верхняя оценка на работу алгоритмы - [math]O(n \cdot 2^n)[/math] - так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем [math]2^n[/math], а каждое подмножество мы обрабатываем за [math]O(n)[/math] и ровно один раз.