Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

Построение эквивалентного ДКА по НКА

НКА: [math]\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to P(Q) \rangle[/math].

ДКА, описанный в следующих строках является эквивалентным НКА.

ДКА: [math]\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle[/math], где:

1. [math]Q_d = 2^Q[/math].
2. [math]s_d = \{s\}[/math].
3. [math]T_d = \{q \in Q_d | \exists p \in T : p \in q\}[/math].
4. [math]\delta_d(q, c) = \cup_{i=1}^{m} \delta(a_i, c)[/math] при условии, что [math]q = \{a_1, ..., a_m\}[/math].

Доказательство эквивалентности

Теорема:

Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]1.[/math] Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА.     Сначала сделаем наблюдение, что если [math]q \in q_d[/math], и [math]c[/math] является символом перехода, то [math]\forall p \in \delta(q, c)[/math]: [math]p \in \delta_D(q_d, c)[/math]. Рассмотрим слово w, которое принимает автомат НКА: [math]\langle s, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle[/math], и [math]u_m \in T[/math] Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что [math]s \in s_d[/math], а, значит, исходя из нашего наблюдения мы получаем, что [math]u_1 \in {u_d}_1[/math], где [math]{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)[/math]. Далее несложно заметить, что [math]\forall i \leq m : u_i \in {u_d}_i[/math], где [math]\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1}...w_m \rangle[/math]. Таким образом, [math]u_m \in {u_d}_m[/math], а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что [math]{u_d}_m \in T_d[/math], а, значит, наш ДКА, тоже принимает cлово w.     Рассмотрим последовательность состояний НКА, когда принимали слово - [math](q_1, ..., q_m)[/math] - и последовательность состояний ДКА, когда принимали слово - [math]({q_d}_1, ..., {q_d}_m)[/math].     Мы знаем, что [math]q_m[/math] - терминальная, так как НКА принимает слово. Надо доказать, что [math]{q_d}_m[/math] - терминальная.     Заметим, что [math]q_1 \in {q_d}_1[/math] - так как это стартовые состояния, а, значит, по нашему наблюдению [math]q_2 \in {q_d}_2[/math] и так далее. Получается, что [math]q_m \in {q_d}_m[/math]. Мы знаем, что [math]q_m[/math] - терминальная вершина, а, значит, по определению терминальной вершины в нашем ДКА, что [math]{q_d}_m[/math] - тоже терминальная. [math]2.[/math] Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА.     Сначала сделаем наблюдение, что если [math]q_d[/math], соответствует множеству из одного элемента - [math]q[/math], и мы из него достигли по строке [math]S[/math] какого-то состояния [math]p_d[/math], то [math]\forall p \in p_d[/math]: существует путь из [math]q[/math] в [math]p[/math] в НКА по строке [math]S[/math].     Рассмотрим последовательность состояний ДКА, когда принимали слово - [math]({q_d}_1, ..., {q_d}_m)[/math].     А так как [math]{q_d}_1[/math] - стартовое состояние, соответствует множеству из одного элемента - [math]q_1[/math] - стартовое состояние. Мы из [math]{q_d}_1[/math] достигли [math]{q_d}_m[/math], возьмём любое терминальное состояние [math]q_m \in {q_d}_m[/math] - по нашему наблюдению, в НКА есть путь из [math]q_1[/math] в [math]q_m[/math] по нужной строке, а, значит, что НКА принимает это слово. Получается, что мы доказали, что если НКА принимает слово, равносильно тому, что ДКА его тоже принимает. А это означает, что автоматы эквивалентны.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм Томпсона

Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Мы будем использовать предыдущий алгоритм построения с одним дополнением - нам не нужны состояния недостижимые из стартового.

Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

Алгоритм

[math]Q[/math] - очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА. [math]s[/math] - стартовое состояние НКА.

 1: [math]Q.push(\{s\})[/math]
 2: [math]while[/math] [math]not[/math] [math](isEmpty(Q))\{[/math]
 3:    [math]Q.pop(q_d)[/math]
 4:    [math]for[/math] [math]c \in \Sigma \{[/math]
 5:      [math]p_d = \o[/math]
 6:      [math]for[/math] [math]q \in q_d[/math] 
 7:        [math]p_d = p_d \cup \delta(q, c)[/math]
 8:      [math]if[/math] [math](p_d[/math] [math]haven't[/math] [math]been[/math] [math]in[/math] [math]Q[/math])
 9:        [math]Q.push(p_d)[/math]
 10:   [math]\}[/math]
 11: [math]\}[/math]

Верхняя оценка на работу алгоритмы - [math]O(n \cdot 2^n)[/math] - так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем [math]2^n[/math], а каждое подмножество мы обрабатываем за [math]O(n)[/math] и ровно один раз.