Основные определения теории графов

Эта статья находится в разработке!

Ориентированные графы (directed graph)

Определение:

Ориентированным графом [math]G[/math] называется пара [math]G = (V, E)[/math], где [math]V[/math] - конечное множество вершин, а [math] E \subset V \times V [/math] - множество рёбер.

Ориентированный граф
Красным выделено ребро (6, 2)
Зеленым обозначена петля (6, 6)

Заметим, что по такому определению любые две вершины [math]u,~v[/math] нельзя соединить более чем одним ребром [math](u, v)[/math]. Поэтому часто используют немного другое определение.

Ориентированным графом [math]G[/math] называется четверка [math]G = (V, E, beg, end)[/math] , где [math]beg, end : E \rightarrow V [/math], а [math]V[/math] и [math]E[/math] - некоторые абстрактные множества. Иногда граф, построенный таким образом называют мультиграфом. В мультиграфе не допускаются петли (см. определение ниже), но пары вершин допускается соединять более чем одним ребром. Такие ребра называются кратными (иначе - параллельные).

Определение:

Ребром (дугой) ориентированного графа называют упорядоченную пару вершин [math] (v, u) \in E [/math].

а) мультиграф
б) псевдограф

В ориентированном графе ребро, концы которого совпадают, то есть [math]e=\{v,v\}[/math], называется петлей. Мультиграф с петлями принято называть псевдографом.

Если имеется ребро [math] (v, u) \in E [/math], то иногда говорят, что [math] u [/math] - родитель [math] v [/math]. Также вершины [math] u [/math] и [math] v [/math] называют смежными. Граф с [math] p [/math] вершинами и [math] q [/math] ребрами называют [math] (p, q) [/math] - графом. [math] (1, 0) [/math] - граф называют тривиальным.

Так же еще для ориентированных графов определяют полустепень входа вершины.

[math]deg^-v_i = |\{e~|beg~e = v\}|[/math].
[math]deg^+v_i = |\{e~|end~e = v\}|[/math].

Докажем, что выполнено следующее равенство:

[math]\sum\limits_{v\in V(G)}deg^-v_i = \sum\limits_{v\in V(G)}deg^+v_i = |E|[/math].

У каждого ребра ровно одно начало и ровно один конец.

Определение:

Путём в графе называется последовательность вида [math]v_0 e_1 v_1 ... e_k v_k[/math], где [math]e_i = (v_{i-1}, v_i)[/math].

Определение:

Циклическим путём называется путь, в котором [math]v_0 = v_k[/math].

Определение:

Цикл - это класс эквивалентности циклических путей на отношении эквивалентности таком, что два пути эквивалентны, если [math] \exists j : \forall i \Rightarrow e_{(i \mod k)} = e'_{(i + j) \mod k}[/math]; где [math]e[/math] и [math]e'[/math] - это две последовательности ребер в циклическом пути.