Теорема о существовании простого цикла в случае существования цикла

Определение:

Назовём два пути одинаковыми, если последовательности вершин и рёбер графа, задающие их, совпадают полностью. Иначе будем считать пути различными.

Определение:

Простой (вершинно-простой) цикл в графе – цикл, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.

Очевидно, это условие не распространяется на первую и последнюю вершины цикла.

Неориентированный граф
Красным выделен цикл

Неориентированный граф
Зеленым выделен простой цикл

Теорема:

Если между двумя вершинами неориентированного графа существуют два различных рёберно-простых пути, то в этом графе существует простой цикл.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмём два существующих пути между нужными нам вершинами: [math]V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n[/math], [math]v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_mv_m[/math], [math]V_0 = v_0[/math], [math]V_n = v_m[/math]. Удалим из путей одинаковые префиксы и суффиксы, оставив из тех только последние и первые вершины, соответственно. Оставшиеся пути: [math]V_aE_{a+1} ... E_bV_b[/math], [math]v_ae_{a+1} ... e_cv_c[/math], [math]V_a = v_a[/math], [math]V_b = v_c[/math], [math]E_{a+1} \neq e_{a+1}[/math], [math]E_b \neq e_c[/math]. Рассмотрим конкатенацию первого нового пути и развёрнутого второго нового пути. Она будет циклом, так как начальная и конечная вершины совпадают, изначально пути были рёберно-простыми, а в точке соединения, равно как и в точке замыкания цикла, условие различности двух идущих подряд рёбер выполняется. Мы получили цикл, определим его: [math]V_0E_1V_1 ... E_kV_k[/math], [math]V_0 = V_k[/math]. Алгоритм: 1. Для вершины [math]V_i[/math] найдём момент её последнего вхождения в цикл – [math]V_j[/math]. 2. Удалим отрезок цикла от [math]E_{i+1}[/math] до [math]V_j[/math], включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется циклом, и в нём вершина [math]V_i[/math] будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины [math]V_1[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового цикла, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся цикл будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.

[math]\triangleleft[/math]

Замечания

• Наличие двух различных рёберно-простых путей между какими-либо вершинами графа равносильно наличию цикла в этом графе.
• Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для вершинно-простых путей (усиление условия).
• Так как вершинно-простой цикл всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого цикла (ослабление результата).
• Утверждение

Если две вершины графа лежат на цикле, то они лежат на простом цикле.

в общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же точку сочленения или один и тот же мост.

См. также

• Основные определения теории графов
• Теорема о существовании простого пути в случае существования пути