Лемма о невозможности существования вычислительно безопасных шифров в случае P = NP

Формулировка

Пусть P [math]=[/math] NP. Имеется набор схем шифрования [math]\{\langle E_{i}, D_{i}\rangle\}[/math], где [math]0 \le i \le k = 2^{n}[/math], [math]E_{i} \in P[/math], [math]D_{i} \in P[/math]. На схему подаются слова длины [math]m[/math], при этом [math]m \gt n[/math]. Тогда [math]\exists A: \{0,1\}^{m} \Rightarrow \{0,1\}[/math], [math]A \in P[/math] такая, что для нее в свою очередь [math] \exists x_{0}, x_{1}[/math] такие, что вероятность [math]P(A(E_{i}(x_{b}))=b) \ge 0,75[/math] по всем [math]b \in \{0,1\}[/math] и всем [math]i \in \{0,1\}^{n}[/math].

Доказательство

Рассмотрим язык [math]S = \{ y | \exists i \in \{0,1\}^{n}: y = E_{i}(0^{m})\}[/math].