Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах

Определение

Определение:

Грамматикой в ослабленной нормальной форме Грейбах (Greibach weaked normal form) называется контекстно-свободная грамматика, в которой могут содержатся правила только следующего вида: [math] A \rightarrow a\gamma [/math], [math] S \rightarrow \varepsilon [/math], где [math] a [/math] — терминал, [math] A [/math] — нетерминал, [math] S [/math] — стартовая вершина, [math] \varepsilon [/math] — пустая строка, [math] \gamma [/math] — строка из произвольного количества терминалов и нетерминалов, стартовая вершина не содержится в правых частях правил.

Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах

Теорема:

Любую контекстно-свободную грамматику можно привести к ослабленной нормальной форме Грейбах.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим контекстно-свободную грамматику [math] \Gamma [/math]. Для приведения ее к нормальной ослабленной форме Грейбах нужно выполнить несколько шагов. На каждом шаге мы строим новую [math] \Gamma_i [/math], которая допускает тот же язык, что и [math] \Gamma [/math]. Избавимся от [math] \varepsilon [/math]-правил. Для этого воспользуемся алгоритмом удаления ε-правил. Получим грамматику [math] \Gamma_1 [/math]. Воспользуемся алгоритмом устранения левой рекурсии. Получим грамматику [math] \Gamma_2 [/math], все правила которой будут иметь следующий вид: [math] A_i \rightarrow a \gamma [/math], [math] A_i \rightarrow A_j \gamma [/math], где [math] A_i [/math], [math] A_j [/math] — нетерминалы, [math] a [/math] — терминал, [math] \gamma [/math] — произвольная последовательность из терминалов и нетерминалов, [math] i \lt j [/math]. Воспользуемся следующей процедурой для придания грамматике нужного вида. for i = n downto 1 for j = i + 1 to n Для каждого правила вывода из [math] A_j \rightarrow \delta_1 | \ldots | \delta_k [/math] заменить каждое правило [math] A_i \rightarrow A_j \gamma [/math] на [math] A_i \rightarrow \delta_1\gamma | \ldots | \delta_k\gamma [/math]. Получим грамматику [math] \Gamma_3 [/math]. После каждой итерации главного цикла все правила для [math] A_k, \, k \ge i [/math] будут иметь вид [math] A_k \rightarrow a \alpha [/math]. Значит, после применения процедуры все правила грамматики будут иметь вид [math] A \rightarrow a \alpha [/math]. Если [math] \varepsilon [/math] присутствовал в языке старой грамматики, то добавим новый стартовый символ [math] S' [/math] и правила [math] S' \rightarrow S | \varepsilon [/math] в [math] \Gamma_3 [/math]. Таким образом мы получили грамматику [math] \Gamma_3 [/math] в ослабленной нормальной форме Грейбах, которая допускает то же язык, что и [math] \Gamma [/math].

[math]\triangleleft[/math]