NP-полнота задачи BH1N

Определение языка BH_1N

Языком BH_1N (от англ. bounded halting unary) называется множество троек [math]\langle m, x, 1^{t} \rangle[/math], где [math]m[/math] - недетерминированная машина Тьюринга (НМТ), [math]x[/math] - входные данные и [math]t[/math] - время в унарной системе счисления, таких, что [math]m(x)=1[/math] и время работы машины [math]m[/math] на входе [math]x[/math] [math]T(m, x)\le t[/math]:

BH_1N = [math]\{ \langle m, x, 1^{t} \rangle | m [/math] — НМТ, [math] m(x)=1, T(m, x)\le t \}[/math].

Также можно рассматривать языки BH_1D, BH_2N, BH_2D, отличающиеся от BH_1N только детерминированностью машин Тьюринга (D - детерминированная, N - недетерминированная) или системой счисления, в которой представляется время (1 - унарная, 2 - бинарная).

Теорема

Язык BH_1N является NP-полным: BH_1N ∈ NPC.

Доказательство

Для того, чтобы доказать NP-полноту BH_1N необходимо установить следующие факты:

1. BH_1N ∈ NP;
2. BH_1N ∈ NPH.

Доказательство принадлежности BH_1N классу NP

Будем использовать в качестве сертификата [math]y[/math] последовательность недетерминированных выборов, которые должна сделать машина [math]m[/math], чтобы допустить слово [math]x[/math]. Длина сертификата меньше, чем [math]Ct[/math] для некоторого [math]C[/math].

Для проверки сертификата используется программа [math]R(\langle m, x, 1^{t}\rangle, y)[/math], эмулирующая работу недетерминированной машины Тьюринга [math]m[/math] на слове [math]x[/math]. Там, где у машины [math]m[/math] было несколько выборов, [math]R[/math] совершает действие согласно сертификату. При этом замеряется время работы машины [math]t[/math]. Проверяющая программа может проэмулировать [math]m[/math], затратив полиномиальное количество времени.

Если НМТ [math]m[/math] допускает слово [math]x[/math] за время [math]t[/math], то существует последовательность действий, которые совершает машина [math]m[/math], среди которых могут быть и недетерминированные. Следовательно, существует сертификат [math]y[/math]. Если же слово не допускается или допускается, но за время, большее [math]t[/math], то любая последовательность действий не ведет к допуску слова, а значит нет и последовательности недетерминированных выборов, которые могла бы сделать машина [math]m[/math].

Все условия принадлежности классу NP выполнены.

Доказательство принадлежности BH_1N классу NPH

Теперь докажем, что BH_1N принадлежит классу NPH. Рассмотрим произвольный язык [math]L[/math] из класса NP. Для него существует машина Тьюринга [math]m[/math], такая что [math]T(m, x)\le p(|x|), L(m) = L[/math]. Докажем, что [math]L[/math] сводится по Карпу к BH_1N. Рассмотрим функцию [math]f(x) = \langle m, x, 1^{p|x|)}\rangle[/math] по входным данным возвращающую тройку из машины Тьюринга, попадающую под описанные выше условия, входных данных и времени [math]p(|x|)[/math] в унарной системе счисления. Эта функция существует, она своя для каждого языка. Проверим, что [math]x \in L \Leftrightarrow f(x)[/math] ∈ BH_1N.

Пусть [math]x \in L[/math]. Тогда [math]m(x) = 1[/math]. Время работы [math]m[/math] не больше [math]p(|x|)[/math], а значит слово [math]x[/math] будет допущено машиной [math]m[/math] за время не больше, чем [math]p(|x|)[/math]. А тогда тройка [math]\langle m,x, 1^{p(|x|)}\rangle = f(x)[/math] будет входить в BH_1N согласно его определению. Пусть [math]x \not\in L[/math]. Тогда [math]m(x) = 0[/math]. Но тогда тройка [math]\langle m, x, 1^{t}\rangle[/math] не принадлежит BH_1N при любом [math]t[/math], а значит и при [math]t = p(|x|)[/math].

Значит произвольный язык из класса NP сводится по Карпу к BH_1N, то есть BH_1N ∈ NPC. Что и требовалось доказать.