NP-полнота задачи о вершинном покрытии — различия между версиями
(→Формулировка) |
|||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
<math>IND \le_{k} COVER</math> | <math>IND \le_{k} COVER</math> | ||
| − | Докажем сначала, что вершинное покрытие и независимое множество являются дополнениями друг друга. Пусть в графе <math>G</math> выбрано независимое множество вершин <math>V</math>. Тогда у любого ребра из <math>G</math> одна из вершин не лежит в <math>V</math>, так как иначе какие-то две вершины в <math>V</math> были бы соединены ребром. Значит дополнение <math>V</math> - вершинное покрытие. Пусть теперь в графе <math>G</math> выбрано вершинное покрытие <math>V</math>. Любому ребру в <math>G</math> инциндентна хотя бы одна вершина из <math>V</math>, значит никакое ребро не может соединять две вершины из дополнения <math>V</math>, поэтому дополнение <math>V</math> - независимое множество. | + | Докажем сначала, что вершинное покрытие и независимое множество являются дополнениями друг друга. Пусть в графе <math>G</math> выбрано независимое множество вершин <math>V</math>. Тогда у любого ребра из <math>G</math> хотя бы одна из вершин не лежит в <math>V</math>, так как иначе какие-то две вершины в <math>V</math> были бы соединены ребром. Значит дополнение <math>V</math> - вершинное покрытие. Пусть теперь в графе <math>G</math> выбрано вершинное покрытие <math>V</math>. Любому ребру в <math>G</math> инциндентна хотя бы одна вершина из <math>V</math>, значит никакое ребро не может соединять две вершины из дополнения <math>V</math>, поэтому дополнение <math>V</math> - независимое множество. |
Пусть в графе <math>G</math> c <math>n</math> вершинами необходимо найти независимое множество размера <math>k</math>. По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в <math>G</math> есть вершинное покрытие размера <math>n-k</math>. Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время | Пусть в графе <math>G</math> c <math>n</math> вершинами необходимо найти независимое множество размера <math>k</math>. По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в <math>G</math> есть вершинное покрытие размера <math>n-k</math>. Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время | ||
Версия 16:05, 30 мая 2010
Содержание
Определение
Вершинным покрытием графа называется такое множество его вершин, что у любого ребра в хотя бы одна из вершин лежит в . Размер вершинного покрытия - это число входящих в него вершин.
Формулировка
Языком COVER называется множество пар , где - неориентированный граф, - натуральное число. Слово принадлежит языку COVER, если ли граф содержит вершинное покрытие размера . Задача о вершинном покрытии является NP-полной.
Доказательство NP-полноты
Для доказательства NP-полноты задачи о вершинном покрытии покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP.
Задача о вершинном покрытии является NP-трудной
Для доказательства сведем по Карпу задачу о независимом множестве к нашей.
Докажем сначала, что вершинное покрытие и независимое множество являются дополнениями друг друга. Пусть в графе выбрано независимое множество вершин . Тогда у любого ребра из хотя бы одна из вершин не лежит в , так как иначе какие-то две вершины в были бы соединены ребром. Значит дополнение - вершинное покрытие. Пусть теперь в графе выбрано вершинное покрытие . Любому ребру в инциндентна хотя бы одна вершина из , значит никакое ребро не может соединять две вершины из дополнения , поэтому дополнение - независимое множество.
Пусть в графе c вершинами необходимо найти независимое множество размера . По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в есть вершинное покрытие размера . Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время
Задача о вершинном покрытии принадлежит классу NP
В качестве сертификата возьмем набор из вершин. Если в графе ребер, то за время можно проверить, что для каждого ребра одна из инциндентных ему вершин лежит в данном наборе.
