Антисимметричное отношение

Антисимметрия — одно из важнейших свойств бинарных отношений на множестве.

Основные определения

Определение:

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется антисимметричным, если для любых элементов [math]a[/math] и [math]b[/math] множества [math]X[/math] из выполнения отношений [math](aRb)[/math] и [math](bRa)[/math] следует равенство [math]a[/math] и [math]b[/math].

[math]\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge R(b,a) \; \Rightarrow \; a = b[/math]

Или эквивалентное

Определение:

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется антисимметричным, если для любых неравных элементов [math]a[/math] и [math]b[/math] множества [math]X[/math] из выполнения отношения [math](aRb)[/math] следует невыполнение отношения [math](bRa)[/math].

[math]\forall a, b \in X,\ R(a,b) \wedge a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a)[/math]

Определение антисимметричного отношения как [math] (aRb) \Rightarrow \neg(bRa) [/math] является избыточным (и потому неверным), поскольку из такого определения также следует антирефлексивность R.

Антисимметричность отношения не исключает симметричности. Существуют бинарные отношения:

• одновременно симметричные и антисимметричные (отношение равенства);
• ни симметричные, ни антисимметричные;
• симметричные, но не антисимметричные;
• антисимметричные, но не симметричные ("меньше или равно", "больше или равно");

Следует различать антисимметричное и асимметричное бинарные отношения.

Определение:

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется асимметричным, если для любых элементов [math]a[/math] и [math]b[/math] множества [math]X[/math] одновременное выполнение отношений [math]a R b[/math] и [math]b R a[/math] невозможно.

Заметим, что антисимметричное отношение — частный случай асимметричного. Это наглядно показывают следующие рассуждения:

• Главная диагональ матрицы смежности асимметричного отношения заполнена нулями; в остальном свойства матрицы повторяют свойства матрицы смежности антисимметричного отношения.
• Граф асимметричного отношения не содержит петель; в остальном свойства графа повторяют свойства графа антисимметричного отношения.

(см. Свойства антисимметричного отношения)

Примеры антисимметричных отношений

Примерами антисимметричных отношений являются, по определению, все отношения полного и частичного порядка([math] \lt , \gt , \le, \ge [/math] и другие).

Антисимметрично отношение делимости на натуральных числах (если [math]a \mid b[/math] и [math]b \mid a[/math], то [math]a=b[/math])

Отношение включения на [math]2^U[/math], где [math]U[/math] - универсум, антисимметрично ([math] A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Rightarrow A = B[/math]).

Свойства антисимметричного отношения

Матрица смежности антисимметричного отношения может содержать единицы на главной диагонали, притом если элемент [math]a_{ij}[/math] матрицы равен единице, то элемент [math]a_{ji}[/math] равен нулю. Отсюда следует, что матрица [math]M+M^T[/math], где [math]M[/math] - матрица смежности некоторого антисимметричного отношения, может содержать 2 только на главной диагонали.

Ориентированный граф, изображающий антисимметричное отношение не имеет двух дуг с противоположной ориентацией между двумя различными вершинами, однако в нём могут быть петли.

Если [math]a[/math] и [math]b[/math] - некоторые антисимметричные отношения, то антисимметричными также являются отношения:

1. [math]a\cap b[/math]
2. [math]a^{-1}[/math]
3. [math]b^{-1}[/math]

См. также

• Бинарное отношение
• Симметричное отношение

Источники

• Антисимметричное отношение — Википедия
• Антисимметричное отношение — статья на английской Википедии
• статья на сайте МАДИ