Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок

Умножение перестановок

Определение:

Умножением (композицией) перестановок называется перестановка, получающаяся по следующему правилу: [math] (a \circ b)_i = a_{b_i} [/math]

Утверждение:

Умножение перестановок ассоциативно: [math] (a \circ (b \circ c))_i = ((a \circ b) \circ c)_i [/math]

[math]\triangleright[/math]

Доказывается простым раскрытием скобок. [math] (a \circ (b \circ c))_i = a_{(b \circ c)_i} = a_{b_{c_i}} [/math] [math] ((a \circ b) \circ c)_i = (a \circ b)_{c_i} = a_{b_{c_i}} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Пример

[math] a = {{1, 2, 3, 4, 5, 6} \choose {2, 5, 6, 3, 1, 4}}, b = {{1, 2, 3, 4, 5, 6} \choose {4, 1, 3, 6, 5, 2}} [/math]

[math] {{1, 2, 3, 4, 5, 6} \choose {2, 5, 6, 3, 1, 4}} \circ {{1, 2, 3, 4, 5, 6} \choose {4, 1, 3, 6, 5, 2}} = {{4, 1, 3, 6, 5, 2} \choose {3, 2, 6, 4, 1, 5}} \circ {{1, 2, 3, 4, 5, 6} \choose {4, 1, 3, 6, 5, 2}} = {{1, 2, 3, 4, 5, 6} \choose {3, 2, 6, 4, 1, 5}} [/math]

Обратная перестановка

Определение:

Обратной перестановкой [math] a^{-1} [/math] к перестановке [math] a [/math] называется такая перестановка, что: [math] (a^{-1} \circ a)_i = (a \circ a^{-1})_i = i [/math]

При представлении перестановки в виде циклов обратную перестановку можно легко получить, инвертировав все ребра в циклах.

[math] a = (1, 3, 2), (4, 5) \Rightarrow a^{-1} = (1, 2, 3), (4, 5) [/math]

Определение:

Перестановка, равная своей обратной, называется инволюцией: [math] a_i = a^{-1}_i \Rightarrow (a \circ a ^{-1})_i = (a \circ a)_i = a_{a_i} = i [/math]

Утверждение:

Число инволюций можно посчитать, используя рекуррентную формулу: [math] a(n) = a(n-1) + (n-1)a(n-2),\ где a(0) = 1,\ a(1) = 1,\ n\gt 1.[/math]

[math]\triangleright[/math]

Доказательство: Рассмотрим n-ый элемент перестановки. Возможны два случая, где он может находиться: n-ый элемент стоит на своём месте. Тогда оставшиеся [math]n-1[/math] элемент должны представлять собой инволюцию длины [math]n-1[/math], значит число таких перестановок равно [math]a (n-1)[/math] n-ый элемент стоит на некотором месте [math] k \ne \neq n [/math]. Тогда, чтобы перестановка была инволюцией, элемент k должен стоять на месте n. При этом остальные [math]n-2[/math] элемента также должны образовывать инволюцию длины [math]n-2[/math]. Получаем, что для фиксированного k существует [math]a (n-2)[/math] инволюций, но так как элемент k можно выбрать [math]n-1[/math] способом, то получается [math] (n-1) a (n-2) [/math] инволюций. Таким образом, получаем формулу [math] a(n) = a(n-1) + (n-1)a(n-2)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Группа перестановок

Определение:

Пусть [math] M [/math] - множество, [math] M = \{ x, y, z, ... \} [/math], и на этом множестве задана бинарная операция [math] \circ [/math], такая, что [math] \forall x, y \in M: x \circ y = z \in M [/math]. Тогда группой называется алгебраическая структура, удовлетворяющая следующим свойствам: [math] (g_1 \circ g_2) \circ g_3 = g_1 \circ (g_2 \circ g_3) [/math] - ассоциативность соответствующей бинарной операции. Существование нейтрального элемента [math] e [/math] относительно [math] \circ [/math]: [math] \forall g \in M: g \circ e = e \circ g = g [/math] Существование обратного элемента [math] g^{-1} [/math] : [math] \forall g \in M: \exists g^{-1} \in M: g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e [/math]

Утверждение:

Множество перестановок с [math] n [/math] элементами с операцией умножения является группой (часто группу перестановок называют симметрической, и обозначают [math] S_n [/math]).

[math]\triangleright[/math]

Свойства 1 и 3 доказаны выше, а в качестве нейтрального элемента можно брать тождественную перестановку ([math] \pi_i = i [/math]). Перестановка, имеющая нейтральный элемент, называется моноидом.

[math]\triangleleft[/math]

Мощность множества симметрических групп: [math]\mid S_n \mid = n![/math]

---

Теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа изоморфна подгруппе соответствующей группе перестановок.