Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения

Алгоритм

Дан связный неориентированный граф. Требуется найти все точки сочленения в нем.

Теорема:

Пусть [math]T[/math] - дерево обхода в глубину, [math]root[/math] - корень [math]T[/math]. Вершина [math]u \ne root[/math] - точка сочленения [math]\Leftrightarrow \exists v \in T[/math] - сын [math]u[/math] : из [math]v[/math] или любого потомка вершины [math]v[/math] нет обратного ребра в предка вершины [math]u[/math]. [math]root[/math] - точка сочленения [math]\Leftrightarrow root[/math] имеет хотя бы двух сыновей в дереве поиска в глубину.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Leftarrow[/math] Удалим [math]u[/math] из [math]G[/math]. Докажем, что [math]\nexists[/math] пути из [math]v[/math] в любого предка вершины [math]u[/math]. Пусть это не так. Тогда [math]\exists x \in T[/math] - предок [math]u[/math] : [math]\exists[/math] путь из [math]v[/math] в [math]x[/math] в [math]G \backslash u[/math]. Пусть [math]w[/math] - предпоследняя вершина на этом пути, [math]w[/math] - потомок [math]v[/math]. [math](w, x)[/math] - не ребро дерева [math]T[/math](в силу единственности пути в дереве) [math]\Rightarrow (w, x)[/math] - обратное ребро, что противоречит условию. Пусть [math]root[/math] - точка сочленения и у него есть только 1 сын. Тогда при удалении [math]root[/math] остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен - противоречие с тем, что [math]root[/math] - точка сочленения. [math]\Rightarrow[/math] Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через [math]G'[/math] граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками [math]u[/math]. Удалим вершину [math]u[/math]. Очевидно, что граф [math]G'[/math] и все поддеревья вершины [math]u[/math] останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в [math]G' \Rightarrow G \backslash u[/math] - связный [math]\Rightarrow u[/math] - не точка сочленения. Пусть у [math]root[/math] хотя бы два сына. Тогда при удалении [math]root \, \nexists[/math] пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер [math]\Rightarrow root[/math] - точка сочленения.

[math]\triangleleft[/math]

Пусть [math]tin[u][/math] - время входа поиска в глубину в вершину [math]u[/math]. Через [math]up[u][/math] обозначим минимум из времени захода в саму вершину [math]tin[u][/math], времен захода в каждую из вершин [math]p[/math], являющуюся концом некоторого обратного ребра [math](u,p)[/math], а также из всех значений [math]up[v][/math] для каждой вершины [math]v[/math], являющейся непосредственным сыном [math]u[/math] в дереве поиска.

Тогда, из вершины [math]u[/math] или её потомка есть обратное ребро в её предка [math]\Leftrightarrow \exists[/math] такой сын [math]v[/math], что [math]up[v] \lt tin[u][/math].

Таким образом, если для текущей вершины [math]v \ne root \, \exists[/math] непосредственный сын [math]v[/math]: [math]up[v] \ge tin[u][/math], то вершина [math]u[/math] является точкой сочленения; в противном случае она точкой сочленения не является.

Реализация

dfs([math]u[/math], [math]prev[/math])
    Помечаем вершину [math]u[/math], как посещенную
    [math]tin[u] \leftarrow up[u] \leftarrow time[/math]++                       
    [math]count \leftarrow[/math] 0
    for ([math]v[/math] : [math]uv[/math] из [math]E[/math])
        if ([math]v[/math] родитель [math]u[/math])
            Переходим к следующей итерации цикла
        if ([math]v[/math] посещено)                        //v - предок вершины u, uv - обратное ребро
            [math]up[u] \leftarrow min(up[u], tin[v])[/math]
        else                                //v - ребенок вершины u
            [math]count[/math]++
            dfs([math]v, u[/math])
            [math]up[u] \leftarrow min(up[u], up[v])[/math]
            if ([math]up[v][/math] >= [math]tin[u][/math])
                [math]answer[u] \leftarrow true[/math]           
    if ([math]u[/math] корень)
        [math]answer[u] \leftarrow (count \gt  1)[/math]

main()
    ...
    for ([math]root[/math] из [math]V[/math])
        if ([math]root[/math] не посещен)
            [math]time \leftarrow 0[/math]
            dfs([math]root[/math], -1);

Время работы алгоритма совпадает с временем работы [math] dfs [/math]. Он равен [math] O(V + E) [/math]

Источники

Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.