Изменения

<tex>\alpha = \alpha' B</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>\mathcal {9} k</tex> такое, что <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. <br> Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \alpha', B \beta, \gamma, \delta, A, i, k \mathcal {g} </tex>, его ранг меньше <tex>r</tex>. По и.п. <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex>. <br>Пусть <tex>B \Rightarrow \eta</tex> — первый шаг в кратчайшем выводе <tex>B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau'' = \mathcal {f} \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \mathcal {g} </tex>. <tex>S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta</tex>, следовательно <tex>\tau_1(\tau'') \leqslant \tau_1(\tau) + 1</tex>.<br> Обозначим длину кратчайшего вывода <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}</tex> за <tex>n_1</tex>, а длину кратчайшего вывода <tex> B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> за <tex>n_2</tex>. Тогда <tex>\tau_3(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Так как <tex> B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>, то <tex>\tau_3(\tau'') = n_2 - 1</tex>. Очевидно, что <tex>\tau_2(\tau'') = \tau_2(\tau) + n_1</tex>. Тогда ранг <tex>\tau''</tex> равен <tex>\tau_1(\tau'') + 2(\tau_2(\tau'') + \tau_3(\tau'') + j) \leqslant \tau_1(\tau) + 1 + 2(\tau_2(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j) = \tau_1(\tau) - 1 + 2(\tau_2(\tau) + \tau_3(\tau) + j) < r </tex>. Значит по и.п. для <tex>\tau''</tex>, <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex>. Из того, что <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex> и <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex> по правилу 4 или 5 <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.*<tex>\alpha</tex> является пустой<br><tex>\alpha = \varepsilon</tex>, значит <tex>i = j, \tau_3(\tau) = 0</tex>.<br> Если <tex> \tau_1(\tau) = 0</tex>, то <tex> \gamma = \varepsilon</tex>, следовательно <tex> \tau_2(\tau) = 0, i = 0 </tex>, откуда <tex> r = 0</tex>, а по и.п. <tex>r > 0</tex>. Значит <tex> \tau_1(\tau) \neq 0</tex>. Тогда <tex> \mathcal {9} B, \gamma', \gamma'', \delta', \delta''</tex> такие, что <tex>S \Rightarrow^* \gamma' B \delta' \Rightarrow \gamma' \gamma'' A \delta' \delta''</tex>, где <tex>B = \gamma'' A \delta'' \in P</tex>.Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \gamma'', A \delta'', \gamma', \delta', B, k, j \mathcal {g} </tex>, где <tex>k</tex> такое, что <tex>\gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k}, \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Обозначим длину кратчайшего вывода <tex>\gamma' \Rightarrow^*a_{1}...a_{k}</tex> за <tex>n_1</tex>, а длину кратчайшего вывода <tex> \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> за <tex>n_2</tex>. <br>Найдем ранг <tex>\tau'</tex>. <tex>\tau_1(\tau') = \tau_1(\tau) - 1, \tau_2(\tau') = n_1, \tau_3(\tau') = n_2, \tau_3(\tau) = 0, \tau_2(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 1</tex>. Значит по и.п. <tex>[B \rightarrow \gamma'' \cdot A \delta'', k] \in I_{j}</tex>, следовательно по правилу 6 <tex>[A \rightarrow \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.